Задача идентификации

Результатом решения задачи идентификации является имитационная или аналитическая модель структурного примитива. Как уже отмечалось, аналитические модели делятся на теоретические и экспериментальные. Теоретические модели получают на основе известных описаний процессов функционирования объекта. Экспериментальные – на основе изучения поведения объекта моделирования во внешней среде.

Для построения экспериментальных моделей используют:

• методы аппроксимация зависимостей;

• методы корреляционного и регрессионного анализа;

• методы планирования эксперимента.

Пусть экспериментальная статистика функционирования структурного примитива задана таблично. В этом случае значения функции базисной координаты известны только для дискретных значений входной переменной. Для того чтобы вычислять значение базисной координаты в любой произвольной точке, необходимо восстановить непрерывную функцию v=f(х). Такое приближение называют аппроксимацией.

Аппроксимация характеристик структурных примитивов применяется в следующих случаях:

• если аналитическое описание характеристики неизвестно и она задана набором экспериментальных данных;

• аналитическое описание v=f(х) сложное и затрудняет расчеты.

Постановка задачи аппроксимации имеет два варианта. В первом случае осуществляется поиск аппроксимирующей функции, наилучшим образом описывающей экспериментальную статистику, при условии обязательного прохождения графика аппроксимирующей функции через определенные заданные точки экспериментальной статистики (см. рис. 8-а). Эти точки называются узлами. Второй вариант постановки задачи аппроксимации не имеет ограничивающего условия обязательного прохождения функции через узлы (см. рис. 8-б).

Для решения первой задачи используется методы кусочно-линейной аппроксимации и аппроксимации сплайнами.

Кусочно-линейная аппроксимация получается соединением узлов отрезками прямых линий. Узлы располагаются так, чтобы обеспечить наименьшую ошибку между аппроксимирующей и точной функцией.

Чаще используют аппроксимацию сплайнами. В отличие от интерполяции полиномом, которым описывается вся область данных, при интерполяции сплайнами строится отдельный полином, описывающий интервал от узла x_i-1 до узла x_i (см. рис. 9).

Наиболее часто используют полиномы третьей степени – кубические сплайны. На каждом отрезке кубический сплайн является многочленом третьей степени:

.

В узлах сплайн принимает заданные значения , :

	(1)
	(2)

Условия (1) и (2) требуют, чтобы сплайны соприкасались в заданных точках. Количество условий таких условий равно . Во внутренних узлах , сплайн имеет непрерывную первую и вторую производные:

	(3)
	(4)

Условия (3) и (4) означают, что в местах соприкосновения сплайнов их первые и вторые производные должны быть равны. Таких условий . Для отыскания искомого сплайна требуется найти коэффициенты , , , многочленов , , т. е. неизвестных. Однако количество уравнений, записанных по условиям (1)–(4) равно . Чтобы система алгебраических уравнений имела решение, необходимо, чтобы число уравнений равнялось числу неизвестных. Следовательно, для разрешимости задачи нужны еще два дополнительных условия. Их обычно получают из естественного предположения о нулевой кривизне графика сплайна на концах:

, .

Полученный таким образом сплайн называют естественным. Если есть дополнительные сведения о поведении функции на концах интервала интерполяции, то можно записать другие краевые условия.