![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Вопрос 2.Множества и основные действия над множествами. Свойства действий над множествами.
- •Вопрос 3. Важнейшие числовые системы (натуральные, целые, рациональные и вещественные числа).
- •Вопрос 4.Важнейшие математические структуры (пространство n измерений. Метод координат).
- •Вопрос 5. Линейное пространство и его важнейшие свойства.
- •§2. Линейно зависимые и линейно независимые системы элементов.
- •§8. Линейные операторы.
- •§9. Действия с линейными операторами.
- •Вопрос 6. Сложение векторов, умножение векторов на числа. Вычитание векторов.
- •Вопрос 7. Линейная зависимость (независимость) элементов. Размерность и базис линейного пространства.
- •Вопрос 8. Норма элемента, расстояние между элементами пространства. Ортонормированный базис.
- •Вопрос 9. Матрицы и основные действия над матрицами. Свойства действий над матрицами.
- •Вопрос 10. Определители матриц. Основные свойства определителей.
- •Вопрос 11. Миноры и алгебраические дополнения. Теорема разложения.
- •Вопрос 12. Обратная матрица. Вычисление обратной матрицы.
- •Вопрос 13. . Ранг матрицы. Практические приёмы вычисления ранга матрицы.
- •Вопрос 15. Системы линейных алгебраических уравнений.
- •Вопрос 16. Решение систем методом Крамера
- •17.Решение систем матричным методом.
- •Вопрос 18. Теорема Кронекера-Капелли. Решение систем линейных алгебраических уравнений в соответствии с теоремой Кронекера-Капелли.
- •Вопрос 21. Прямая на плоскости и в пространстве.. Взаимосвязь различных видов уравнений прямой.
- •Вопрос 23-24. Плоские кривые второго порядка (эллипс, гипербола, парабола). Канонические уравнения кривых второго порядка.
- •Вопрос 25. Последовательности. Определение, способы задания, действия с последовательностями.
- •26.Предел последовательности. Сходимость. Второй замечательный предел
- •27.Свойства сходящихся последовательностей.
- •28.Определение функции. Способы задания функции.
- •29.Предел функции. Непрерывность в точке, на интервале. Свойства.
- •Вопрос 27. . Основные теоремы о пределах.
- •Вопрос 28. Бесконечно малые величины, основные теоремы о бесконечно малых.
- •Вопрос 29. Бесконечно большие величины, связь бесконечно малых с бесконечными величинами.
- •Вопрос 36. .Дифференцируемость функции, первый дифференциал и производная первого порядка.. Связь непрерывности и дифференцируемости
- •Вопрос 31. Правила дифференцирования. Таблица производных.
- •Вопрос 39. Основные теоремы дифференциального исчисления (теоремы Ферма, Ролля).
- •Вопрос 40. Теорема Лагранжа (формула конечных приращений). Связь теоремы Коши с теоремой Лагранжа.
- •Вопрос 41.Теорема Коши́
- •Вопрос 43. Формула Тейлора
- •42.Раскрытие неопределенности по правилу Лопиталя.
- •Вопрос 45. Функции нескольких переменных. Поверхности и линии уровня, поверхности и кривые безразличия.
- •47.Предел функции нескольких переменных. Непрерывность функции нескольких переменных в точке и в области.
- •48.Дифференцирование функций нескольких переменных.
- •Вопрос 50. Производные и дифференциалы высших порядков. Приложения дифференциального исчисления функций нескольких переменных в моделировании социально экономических процессов.
- •Вопрос 51. Локальные и условные экстремумы функций нескольких переменных.
- •Вопрос 53. Первообразная и неопределённый интеграл. Таблица элементарных интегралов.
- •54. Свойства неопределённого интеграла.
- •Вопрос 55. Интегрирование заменой переменной. Интегрирование методом подстановки.
- •56.Метод интегрирования по частям (с выводом)
- •57.Разложение рациональной функции на простейшие дроби.
- •58.Разложение рациональной функции на простейшие дроби.
- •59.Интегрирование простейших иррациональностей. Подстановки Эйлера.
- •60.Биномиальный интеграл.
- •61.Интегрирование функции .
- •62.Определенный интеграл и его геометрический смысл.
- •63.Основные свойства определенного интеграла.
- •64.Замена переменной в определенном интеграле
- •65.Вычисление определенного интеграла по частям.
- •Вопрос 67. Интеграл с переменным верхним пределом. Интегралы по бесконечным промежуткам.
- •Главное значение несобственного интеграла на бесконечном промежутке интегрирования
- •Геометрический смысл несобственных интегралов с бесконечным пределом интегрирования
- •Вопрос 68. Формула Ньютона-Лейбница. Интегралы по симметричным промежуткам от чётных и нечётных функций. Оценки интегралов. Интегрально среднее.
- •71.Вычисление площади плоской фигуры.
- •72.Вычисление длины дугиплоской кривой.
- •73.Вычисление площади и объема поверхности тела вращения.
- •Вопрос 75. Признаки сходимости интегралов по бесконечным промежуткам.
- •Вопрос 76. Интегралы от разрывных функций. Признаки сходимости интегралов от разрывных функций.
Вопрос 40. Теорема Лагранжа (формула конечных приращений). Связь теоремы Коши с теоремой Лагранжа.
Формула
конечных приращений или теорема Лагра́нжа
о среднем значении утверждает, что если
функция
непрерывна на отрезке
и дифференцируема в интервале
,
то найдётся такая точка
,
что
Геометрически это можно переформулировать так: на отрезке найдётся точка, в которой касательная параллельна хорде, проходящей через точки графика, соответствующие концам отрезка.
Вопрос 41.Теорема Коши́
Теорема Коши о среднем значении является обобщением теоремы Лагранжа о конечных приращениях
Пусть
на отрезке определены две непрерывные
фунции
. Пусть также
существует конечная или бесконечная
производная f'(x), а функция g дифференцируема,
то есть
,
и
Тогда
Пример.
Проверить, что функции
и
на отрезке
удовлетворяют условиям Коши.
Функции
и
непрерывны при всех
,
а значит, и на отрезке
;
их производные
и
существуют везде; кроме того,
на заданном отрезке не обращается в
нуль.
Следовательно,
к данным функциям применима теорема
Коши:
,
т.е.
,
откуда находим два значения
:
,
.
Из
полученных значений только
удовлетворяет условию задачи, так как
является внутренней точкой отрезка
.
Вопрос 43. Формула Тейлора
Формула
Тейлора.
Пусть функция
имеет в точке
и некоторой ее окрестности производные
порядка
.
Пусть
- любое значение аргумента из указанной
окрестности,
.
Тогда между точками
и
найдется точка
така, что справедлива формула Тейлора
.
42.Раскрытие неопределенности по правилу Лопиталя.
Теорема. Предел отношения двух бесконечно малых или бесконечно больших функций равен пределу отношения их производных (конечному или бесконечному), если последний существует в указанном смысле.
Итак,
если имеется неопределенность вида
или
,
то
.
Доказательство.
Рассмотрим доказательство теоремы для
неопределенности вида
при
.
Для
простоты будем предполагать, что функции
и
,
а также их производные непрерывны в
точке
,
причем
и
.
В этом случае
.
Применяя
теорему Лагранжа для функций
и
на отрезке
,
получим
,
где
,
.
При
в силу непрерывности производных
и
имеем
и
.
Используя теорему о пределе частного
получаем равенство
.
Пример.
Раскрыть неопределенность по правилу
Лопиталя и найти предел функции:
.
.
44.Правила исследования функций.
Найти область определения функции.
Исследовать функцию на четность и нечетность.
Найти вертикальные асимптоты.
Исследовать поведение функции в бесконечности, найти горизонтальные или наклонные асимптоты.
Найти экстремумы и интервалы монотонности функции.
Найти интервалы выпуклости функции и точки перегиба.
Найти точки пересечения с осями координат и, возможно, некоторые дополнительные точки, уточняющие график.
Исследовать
функцию
и построить ее график.
1. Область определения функции.
Область
определения функции
:
.
2. Исследование функции на четность-нечетность.
Так
как
,
то функция
общего вида.
3. Исследование функции на наличие вертикальных асимптот.
Прямая
является вертикальной асимптотой, так
как
,
.
4. Исследование поведение функции в бесконечности, нахождение горизонтальных и наклонных асимптот.
Так
как
,
то функция горизонтальных асимптот не
имеет.
Так
как
,
,
то прямая
является наклонной асимптотой.
5. Экстремумы и интервалы монотонности функции.
Найдем
производную первого порядка
.
Приравняем первую производную к нулю
,
откуда
,
.
Знаки производной первого порядка
указаны на рисунке.
|
- |
+ |
- |
|
|
-1 |
0 |
|
|
Функция
возрастает на интервале
,
убывает -
,
.
Точка
является точкой минимума
.
6. Определим интервалы выпуклости функции и точки перегиба.
Найдем
производную второго порядка
.
Приравняем вторую производную к нулю
,
откуда
.
Знаки производной второго порядка
указаны на рисунке.
|
+ |
+ |
|
|
0 |
|
|
Функция
выпукла вверх на интервалах
,
.
Точек перегиба нет.
7. Точки пересечения с осями координат.
Точка
является точкой пересечения функции с
осью абсцисс.