31. Анализ устойчивости дискретной системы по расположению полюсов на z-плоскости.

Рассмотрим импульсную систему:

Выходная переменная в z-преобразовании:

*

Выражение * можно представить в виде:

**

z – нули

p – полюсы

** можно представить в виде простых дробей:

***

где - сумма слагаемых обусловленная полюсами выражения . Первые n слагаемых выражения *** определяют собственное движение системы, для устойчивости оно должно быть затухающим, следовательно если обратное z-преобразование первых n слагаемых выражения *** с течением времени стремится к 0, то система устойчива:

Следовательно i-тое состояние стремится к 0 при если

Т. о. система описывающая выражение *** или * является устойчивой если все полюсы передаточной функции по модулю меньше 1.

Сомножители вида входят в выражение , следовательно система является устойчивой если корни характеристического уравнения расположены внутри окружности единичного радиуса на z-плоскости.

32. Отображение p-плоскости на z-плоскость

положим , тогда при изменении на p-плоскости годограф совпадает с мнимой осью.

Зададимся значениями частот:

1) 2)

3) 4)

5)

Таким образом, участок мнимой оси на p-плоскости отображается в окружность единичного радиуса с центром в начале координат на Z-плоскости.

Можно сказать, что остальная часть мнимой оси p-плоскости отображается эту же окружность на Z-плоскости. При этом левая полуплоскость отображается внутрь круга единичного радиуса.

Предположим, что

Тогда

Т.к T>0, то , а это означает, что . Следовательно, расположение полюсов в левой полуплоскости эквивалентно расположению внутри окружности.

33. Критерий Джури

Данный критерий явл-ся аналогом критерия Раусса при анализе непрерывных систем. Характеристическое уравнение систем(характеристический полином):

На основе характеристического полинома составляется таблица Джури:

В последней строке расположено 3 элемента, в чётных строках элементы расположены в обратном порядке по отношению к нечётным. Элементы строк, начиная с 3-ей вычисляются по формулам:

Необходимые и достаточные условия устойчивости:

34. Анализ устойчивости по дискретной модели в пс

Пусть задано уравнение состояния, полученное итерационным методом:

(3,5)

Для анализа устойчивости достаточно рассмотреть поведение системы под действием начальных условий, т.е. считать Ui равным 0. Тогда из предыдущего уравнения получим:

(3,6)

Из (3,6) следует, что последовательность X(0),X(1),X(2),…. ---> 0, если собственные значения матрицы А удовлетворяют условию при

Собственные значения определим из уравнений:

, где I-единичная матрица.

Пример:

35. Билинейное преобразование. Отображение z-плоскости на w-плоскость.

Частотные методы анализа непрерывных систем основаны на том, что их границей устойчивости на p-плоскости является мнимая ось. Эти методы неприменимы к дискетным системам, к. описываются Z-передаточными функциями, т.к. границей устойчивости на Z-плоскости является окружность единичного радиуса. Однако, с помощью билинейного(W-преобразования) окружность единичного радиуса на Z-плоскости отображается на мнимую ось на W-плоскости. Преобразования реализуются с помощью подстановок:

На окружности единичного радиуса z-плоскости

, следовательно получим:

по формуле Эйлера.

Выражению (3,7) соответствует мнимая ось на w-плоскости.

При w=0  - начало координат.

При

Таким образом, областью устойчивости на w-плоскости является мнимая ось.