17. Математическое описание устройства выборки-хранения.

Сигнал на выходе устройства может быть представлен в виде:

(1)

Изображение по Лапласу выходного сигнала с учётом теоремы запаздывания

(2)

Первый сомножитель в (2) не зависит от входного сигнала поэтому его можно отнести к экстрополятору и рассматривать как передаточную функцию.

Тогда квантователь осуществляет преобразование входного сигнала в соответствии с выражением: (3) Данное выражение по определению соответствует преобразованию Лапласа дискретной функции , оно называется преобразованием со звёздочкой.

Т .о. устройство выборки-хранения можно представить схемой из квантователя периодом Т и экстрополятора:

Следует иметь в виду, что выражение (3) не является моделью реального квантователя. В реальной системе сигнал отсутствует. Выражение так же не является ПФ реального экстрополятора, они получены искусственно, путём математического преобразов. выражения (1).Однако комбинация этих элементов точно отображает соотношения между входным и выходным сигналами для реального устройства выборки-хранения. Но использовать в схеме отдельно квантователь или экстрополятор нельзя. За квантователем обязательно должен следовать экстрополятор и наоборот.Обратное преобразование Лапласа для выражения (3) даёт: Т.о. физически не реализуема, поэтому устройство осуществляющее преобразов. в соответствии с выражением (3) или (4) называется идеальным квантователем. Блок имеющий ПФ называется экстрополятором 0-го порядка.

18. Свойства преобразования со звёздочкой

1. Найдём преобразование со звёздочкой для единичной ступенчатой функции

Аналогично выражается для Z-преобразования

Таким образом преобразование со звёздочкой можно получить из Z-преобразований. E^*(p)=E(z) при z=e^Tp

2) E^*(p) является периодической функцией от p с периодом jw_p, т.е. E^*(p)= E^*(p+ jw_p), где n=0, , … - частота квантования

3) Если E(p) имеет полюс p₁, то ф-ция E^*(p) будет иметь полюсы p₁+mjw_p , где n= 0, , … Положение нулей E^*(p) также обладает периодичностью таким образом, если известно расположение нулей и полюсов E^*(p) в основной полосе частот – w_p/2<w<w_p/2, то оно будет повторяться в дополнительных полюсах

19. Преобразование спектра сигнала идеальным квантователем.

П усть сигнал E(p) подвергается квантованию.

W _p-частота квантованияИз приведенных рисунков следует, что сигнал может быть полностью восстановлен после квантования с помощью идеального фильтра, если его спектр не выходит за пределы основной полосы, т.е. максим. Частота сигнала E(p) должно быть меньше w_p/2 в противном случае сигнал восстан. с искажением. Таким образом для возможности восстанавления квантованного сигнала без искажения частота квантования должна быть как минимум в два раза выше max частоты исходного сигнала.

Блок имеющий ПФ W_ho(p)=(1- e^-Tp)/p называется экстраполятором нулевого порядка.

Устройство вых. сигнал, которого описывается выражением

E*(p)=∑ε(kT)۰e^-kTp называется идеальным квантователем.

Если мах частота входного сигнала < w_p/2, то сигнал может быть полностью восстановлен после квантователя с помощью фильтра. Идеальный фильтр имеет коэффициент передачи в основной полосе u=0 за ее пределами. Если спектр входного сигнала выходит за пределы w_p/2, то его нельзя восстановить с помощью идеального фильтра. Поэтому частота квантователя должна быть в 2 раза выше мах частоты входного сигнала.

W_ho(p)=(1- e^-Tp)/p = T ۰ (sin(πw/w_p))/( πw/w_p)۰e^-jπw/wp – частотная характеристика экстраполятора 0 – го порядка.

׀ W_ho׀= T ۰ (sin(πw/w_p))/( πw/w_p) - АЧХ argW_ho= -πw/w_p + Ө - ФЧХ

Пусть на вход системы поступает синусоидальный сигнал с частотой w1< w_p/2, тогда на выходе квантователя и соответственно на входе экстраполятора мы получаем сигнал вида w1±nw_p, где n=0,1,2… При прохождении через экстраполятор сигнал также будет иметь бесконечное число соответственно с ростом частоты их амплитуда будет уменьшатся.