5. Дискретное преобразование Лапласа. Определение z-преобразования. Теоремы z-преобразования.

Преобразование Лапласа ставит в соответствии функции действительной переменной, которая определяется при t≥0, функция комплексного переменного

p – положительное вещественное или комплексное с положительной вещественной частью число.

Аналогично по отношению с дискретной функцией f(kT) можно выполнить дискретное преобразование Лапласа

(1)

Выражение (1) можно использовать для решения разностных уравнений. Однако наличие сомножителя e^-kTp затрудняет решение.

Если принять e^Tp=Z, то получим: (2)

Выражение (2) является определением Z- преобразования. Оно ставит в соответствие дискретной функции f(kT) функцию комплексного переменного F(Z).Для преобразования (1),(2) используются обозначения:

В соответствии с (2) результатом Z- преобразования числовой последовательности f(k), где k=0,1,2,… является степенной ряд:

(3)

Теоремы Z- преобразования:

1. Суммирование:

2. Умножение на постоянный коэффициент:

3. Сдвиг на целое число:

4. Теорема о начальном значении

5. Теорема о конечном значении:

6. Теоремы z-преобразований.

1. Суммирование z-преобразований:

2. Умножение на константу:

3. Сдвиг на целое число тактов:

n- целое число.

4. Теорема о начальном значении:

5. Теорема о конечном значении:

7. z - ПФ дискретной системы

Дискретная система описывается уравнением:

Используя теорему о сдвиге получаем:

- z-ПФ дискретной системы

8. Выполнение обратного Z-преобразования методом разложения в степенной ряд.

Если Z-изображение представляет собой дробь, то путём деления числителя на знаменатель получаем выражение вида:

Отсюда искомая числовая последовательность:

Пример:

и т.д.

Откуда искомая числовая последовательность 0,1,3,7…

9. Выполнение обратного Z-преобразования методом разложения на простые дроби.

F(z) разложение выполняется как и при решении уравнения операторным методом. Обратный переход для получения простых дробей выполняется с помощью таблицы.

Если в числителе F(z) содержится Zсоответствующей степени, то сначала раскладывается на простые дроби F(z)/z, и затем полученную дробь помножают наZ. Рассмотрим пример:

Z_1,2=1.5+/-

получаем:

F(k)=-1-2^k

10. Решение разностных уравнений с помощью Z-преобразования.

Порядок решения:

1. уравнение сводится к виду ;

2. записать U(z), т. е. z-изображения входной числовой последовательности U(k)/

3. определить z-изображения выходной переменной.

4. осуществить обратное z-преобразования и находят y(k).

Пример:

11. Решение уравнений состояния с помощью Z-преобразования.

Решение уравнения состояния с помощью z-преобразования.

Уравнение составляется в матричной форме (разностное):

Применим z-преобразования с учётом теоремы о сдвиге:

Аналогичное выражение было получено ранее на основе решения итеррациональным методом.

12. Схемы моделирования дискретных систем.

Д искретные системы описывают уравнения в конечных разностях, такое уравнение позволяет вычислить текущее значение выходной переменной по значениям входной и выходной переменной в предыдущий момент времени. Эти значения суммируются со своими коэффициентами. Следовательно, решение Ур-я можно смоделировать схемой, содержащей элементы умножения (усилители, запоминания и суммирования). В качестве элементов памяти для дискретных систем используют регистры сдвига. Он имеет две ступени, когда на вход подаются значение переменой на выход появляется предыдущее значение.

Элемент идеальной задержки сигнала на время Т: Пример:

Общий вид схемы моделирования в форме непосредственного программирования цифровых фильтров (ЦФ). Для построения, ПФ должна быть представлена в виде:

Данная схема может быть построена с одним сумматором расположенным в центре.Каноническая форма программирования ЦФ

Число регистров Т равно порядку ПФ