28. Суммирование погрешностей. Практические правила суммирования погрешностей.

Определение расчетным путем оценки результирующей погрешности по известным оценкам её составляющих называется суммированием погрешностей.

Правила суммирования погрешностей основываются на том, что погрешность по абсолютному значению всегда много меньше самой измеренной величины. Поэтому изменение погрешности в зависимости от изменения измеряемой величины может быть учтено, если все суммируемые случайные и систематические составляющие погрешности разделить на аддитивные и мультипликативные.

Сумма аддитивных составляющих даст значение аддитивной части результирующей погрешности, а сумма мультипликативных составляющих – значение мультипликативной части результирующей погрешности.

Для устранения влияния деформации формы законов распределения все суммируемые составляющие исходно представляются своими с.к.о. и все операции расчетного суммирования проводятся только над ними.

Результирующую погрешность необходимо выразить в виде доверительного интервала.

Практические правила расчетного суммирования результирующей погрешности:

1. Для определения суммарного значения с.к.о. должны учитываться корреляционные связи различных составляющих погрешности. В связи с этим исходными данными для более точного расчета должны служить оценки всех отдельных составляющих погрешности, а не оценки некоторых суммарных погрешностей.

2. Для каждой составляющей должно быть найдено её с.к.о.

3. Все суммируемые погрешности разделяются на аддитивные и мультипликативные составляющие, которые суммируются отдельно.

4. Все погрешности условно делятся:

• Сильно коррелированные при , для которых считают , в зависимости от знака корреляции.

• Слабо коррелированные при , для которых принимают .

5. Из суммируемых составляющих выделяются группы сильно коррелированных между собой погрешностей и внутри этих групп производится алгебраическое суммирование их оценок.

.

6. Полученные погрешности после суммирования (п. 5) и оставшиеся погрешности можно считать некоррелированными и складывать по правилу геометрического суммирования.

,

Здесь - квантильный множитель нормального распределения, соответствующий доверительной вероятности Р.

Для определения с.к.о. суммарной погрешности при начальном значении измеряемой величины складывают лишь аддитивные составляющие, а для определения с.к.о. погрешности в конце диапазона изменения измеряемой величины – все просуммированные выше составляющие.

7. Для перехода от с.к.о. погрешности к доверительному интервалу должно быть вынесено суждение о форме закона распределения результирующей погрешности.

В большинстве случаев принимают нормальный закон распределения.

В качестве упрощения перехода от с.к.о. результирующей погрешности к её интервальной оценке можно использовать доверительную вероятность , при которой для большой группы различных распределений имеет место соотношение:

.

29.Определение суммарной погрешности измерительного канала. Пример.

Измеряется физическая величина х.

Измерительный канал имеет следующую структуру.

Здесь:

Д – датчик;

П – преобразователь;

ВП – вторичный прибор;

x – измеряемая физическая величина;

Y – показание вторичного прибора.

Известно:

Для датчика:

• Основная погрешность задана классом точности – 0,5. Распределение основной погрешности – треугольное.

• Дополнительная погрешность обусловлена: влиянием температуры окружающей среды - =0,1%; колебаниями напряжения питания - .

Для преобразователя:

• Основная погрешность задана классом точности – . Распределение основной погрешности – равномерное.

• Дополнительная погрешность обусловлена: влиянием температуры окружающей среды - =0,1%; колебаниями напряжения питания - .

1,0

Для вторичного прибора:

• Основная погрешность задана классом точности – . Распределение основной погрешности – нормальное. Класс точности определялся для доверительной вероятности – 0,95.

• Дополнительная погрешность обусловлена: влиянием температуры окружающей среды - =0,2%; колебаниями напряжения питания - .

При этом датчик и преобразователь находятся в непосредственной близости, а датчик, преобразователь и вторичный прибор питаются от одного источника напряжения. Предполагается, что с увеличением, как температуры, так и напряжения питания выходные сигналы элементов измерительного канала увеличиваются.

Требуется оценить погрешность измерения физической величины по показаниям вторичного прибора.

Решение.

Представим измерительный канал в виде структурной схемы, на которой покажем действия случайных воздействий, приводящих к погрешности результата измерения.

1. Представим все погрешности в виде относительных с.к.о. и разделим их на аддитивные и мультипликативные.

   • Для датчика:

Так как распределение основной погрешности имеет треугольный характер, а сама погрешность задана классом точности в виде – 0,5, то она имеет аддитивный характер, а относительное с.к.о. для неё запишется следующим образом:

.

Дополнительные погрешности имеют аддитивный характер, поэтому их запишем следующим образом:

;

.

• Для преобразователя:

Так как распределение основной погрешности имеет равномерный характер, а сама погрешность задана классом точности в виде – , то она имеет как аддитивный, так и мультипликативный характер, а относительные с.к.о. для неё запишутся следующим образом:

;

.

Дополнительные погрешности имеют аддитивный характер, поэтому их запишем следующим образом:

;

.

• Для вторичного прибора:

1,0

Так как распределение основной погрешности имеет нормальный характер, а сама погрешность задана классом точности в виде – , то она

имеет мультипликативный характер, а относительное с.к.о. для неё запишется следующим образом:

.

Дополнительные погрешности имеют аддитивный характер, поэтому их запишем следующим образом:

;

.

2. Проведем суммирование сначала коррелированных с.к.о.

• Так как элементы измерительного канала питаются напряжением от одного источника, то погрешности этих элементов, вызванные колебаниями напряжения коррелированны между собой. Поэтому они складываются алгебраически.

.

• Дополнительные погрешности, вызванные отклонениями температуры, так же коррелированны, но только для датчика и преобразователя, так как они находятся рядом (предполагается, что вторичный прибор находится под влиянием другой температуры). Тогда имеем:

.

3. Оставшиеся и уже просуммированные погрешности между собой не коррелированны, а поэтому складываются между собой геометрически. Проведем суммирование отдельно для аддитивных и мультипликативных составляющих погрешности.

• Для аддитивных:

.

• Для мультипликативных:

.

• Суммарное с.к.о.

.

4. Перейдем от с.к.о. к доверительным интервалам. На основании центральной предельной теоремы теории вероятностей, можно считать, что суммарная погрешность имеет нормальное распределение. Тогда доверительные интервалы для доверительной вероятности равной 0,95 примут следующий вид:

• .

• .

5. Запишем выражение для относительной погрешности измерительного канала:

.

Так для середины диапазона измерения относительная погрешность измерения составит:

.