5 Теорія міри та інтегралу
ВАРІАНТ 1
Нехай , – алгебри підмножин множини . Чи є сукупність алгеброю підмножини ?
Довести, що множина всіх ірраціональних чисел відрізку дійсної числової прямої вимірна за Лебегом та знайти її міру Лебега.
Нахай цє міра, що задана на алгебрі підмножин множини . Довести, що для довільних справедливе співвідношення .
Довести, що дві неперервні на відрізку функції еквівалентні тоді і тільки тоді, коли вони рівні ( ).
Нехай послідовність вимірних на множині функцій збігається за мірою до вимірних на функцій та . Довести, що функції та еквівалентні на .
Чи є сумовною функція на відрізку , якщо
Чи є сумовною функція на відрізку , якщо
ВАРІАНТ 2
Нехай та є -алгебри підмножин множини . Чи є -алгеброю підмножин множини ?
Довести, що множина всіх раціональних чисел відрізку дійсної числової прямої вимірна за Лебегом та знайти її міру Лебега.
Нахай цє міра, що задана на алгебрі підмножин множини . Довести, що для довільних справедливе співвідношення .
Нехай – це натуральне число і функція вимірна на вимірній множині . Чи є функція вимірною на ?
Нехай послідовності і вимірних на вимірній множині функцій збігаються за мірою відповідно до вимірних на функцій та . Довести, що послідовність збігається за мірою до функції .
Чи є сумовною функція на відрізку , якщо
Обчислити інтеграл , де
ВАРІАНТ 3
Нехай і це кільця підмножин множини . Чи є кільцем підмножин множини ?
Довести, що множина вимірна за Лебегом і знайти її міру Лебега.
Нахай цє міра, що задана на алгебрі підмножин множини . Довести, що для довільних справедливе співвідношення .
Нехай функція , яку задано на відрізку , є неспадною на цьому відрізку. Чи є функція вимірною за Лебегом на відрізку ?
Нехай послідовність вимірних на вимірній множині функцій збігається за мірою до вимірної на функції , – фіксоване дійсне число. Довести, що послідовність збігається за мірою до функції .
Обчислити інтеграл , якщо
Обчислити інтеграл , де
ВАРІАНТ 4
Нехай – це сукупність всіх скінчених підмножин довільної множини . Чи є множина кільцем підмножин множини ?
Довести, що канторова множина вимірна за Лебегом та знайти її міру Лебега.
Нахай цє міра, що задана на алгебрі підмножин множини . Довести, що для довільних справедливе співвідношення .
Нехай для всіх . Чи є функція вимірною на інтервалі ?
Нехай послідовність вимірних на вимірній множині функцій збігається за мірою до деякої вимірної на функції . Довести, що для довільного додатного числа справедливе співвідношення .
Обчислити інтеграл , де
Чи є сумовною функція на відрізку , якщо
ВАРІАНТ 5
Нехай – це сукупність всіх скінчених підмножин довільної множини . Чи є множина півкільцем?
Навести приклад вимірної за Лебегом множини , яка є множиною потужності континууму і має нульову лебегову міру.
Нехай цє міра, що задана на алгебрі підмножин множини . Довести, що для довільних справедливе співвідношення .
Функцію задано на відрізку співвідношенням , . Чиє функція вимірною за Лебегом на відрізку ?
Нехай послідовність вимірних за Лебегом і майже всюди невід’ємних на функцій збігається майже всюди на до функції . Довести, що функція є майже всюди невід’ємною на відрізку .
Чи є сумовною функція на відрізку , якщо
Обчислити інтеграл , де
ВАРІАНТ 6
Нехай є сукупністю всіх підмножин скінченої множини . Чи є алгеброю підмножин ?
Нехай є множиною всіх натуральних простих чисел. Довести, що множина вимірна за Лебегом і знайти її міру Лебега.
Нахай цє міра, що задана на алгебрі підмножин множини . Довести, що для довільних справедливе співвідношення .
Нехай функції і , що задані на вимірній множині , вимірні на . Довести, що множина є вимірною.
Нехай послідовність вимірних на вимірній множині і майже всюди невідємних на функцій збігається майже всюди на до функції . Довести, що функція є майже всюди невідємною на множині .
Обчислити інтеграл , де
Чи є сумовною функція на відрізку , якщо
ВАРІАНТ 7
Нехай є сукупністю всіх скінчених підмножин нескінченої множини . Чи є алгеброю підмножин ?
Довести, що множина всіх чисел відрізка , запис яких у десятковій системі числення не містить цифри 5, вимірна за Лебегом та знайти її міру Лебега.
Нахай цє міра, що задана на алгебрі підмножин множини . Довести, що для довільних справедливе співвідношення .
Нехай функції і , що задані на вимірній множині , є вимірними на . Довести, що множина є вимірною.
Нехай послідовність вимірних на вимірній множині і майже всюди невідємних на функцій збігається за мірою до вимірної на функції . Довести, що функція є майже всюди невідємною на множині .
Чи є сумовною функція на відрізку , якщо
Чи є сумовною функція на відрізку , якщо
ВАРІАНТ 8
Нехай . Навести приклад півкільця підмножин , що не є кільцем.
Довести, що множина всіх чисел відрізка , запис яких у десятковій системі числення не містить цифри 1, вимірна за Лебегом та знайти її міру Лебега.
Нахай цє міра, що задана на алгебрі підмножин множини . Довести, що для довільних справедливе співвідношення .
Нехай функції і , що задані на вимірній множині , є вимірними на . Довести, що множина є вимірною.
Нехай послідовності і визначених на вимірній множині функцій збігаються майже всюди на відповідно до функцій і , визначеним на . Довести, що послідовність збігається майже всюди на до .
Чи є сумовною функція на відрізку , якщо
Чи є сумовною функція на відрізку , якщо
ВАРІАНТ 9
Нехай є такою сукупністю підмножин множини , що задовольняє умовам:
а) ; б) .
Чи є множина кільцем підмножин ?
Чи може дорівнювани нулю міра Лебега непустої відкритої множини, що лежить на дійсній числовій прямій?
Нахай цє міра, що задана на алгебрі підмножин множини . Довести, що для довільних справедливе співвідношення .
Нехай функції , задані на вимірній множині , є вимірними на . Довести, що функція (для всіх ) є вимірною на .
Нехай послідовність вимірних за Лебегом на функційзбігається за мірою до функції , що тотожно дорівнює нулю. Довести, що послідовність у загальному випадку не збігається до майже всюди на .
Навести приклад простої функції, що не є сумовною на відрізку .
Чи є сумовною функція на відрізку , якщо
ВАРІАНТ 10
Нехай є такою сукупністю підмножин множини , що задовольняє умовам:
а) ; б) .
Чи є множина кільцем підмножин ?
Нехай множина , що лежить на дійсній числовій прямій, вимірна за Лебегом і має нульову Лебегову міру. Чи є її замикання множиною нульової міри?
Нахай цє міра, що задана на алгебрі підмножин множини . Довести, що для довільних справедливе співвідношення .
Нехай функції , задані на вимірній множині , є вимірними на . Довести, що функція , що задана співвідношенням , є вимірною на .
Нехай послідовність вимірних на вимірній множині функцій збігається майже всюди на до функції . Довести, що послідовність збігається до за мірою.
Навести приклад простої функції, що не є сумовною на .
Чи є сумовною функція на відрізку , якщо
ВАРІАНТ 11
Нехай є такою сукупністю підмножин множини , що задовольняє умовам:
а) Ø, , б) ;
в) .
Чи є множина алгеброю підмножин ?
Довести, що множина всіх чисел відрізку , запис яких у десятковій системі числення містить лише парні цифри, вимірне за Лебегом і знайти її міру Лебега.
Нахай цє міра, що задана на алгебрі . Довести, що для довільних елементів справедлива нерівність .
Довести, що функція вимірна за Лебегом на відрізку , якщо .
Послідовність функцій і функція задані співвідношеннями: , ; Чи збігається ця послідовність до цієї функції? Якщо так, то якого виду ця збіжність?
Чи є сумовною функція на відрізку , якщо
Обчислити інтеграл , якщо
ВАРІАНТ 12
Нехай – півкільце підмножин множини . Довести, що для будь-яких елементів існує таке натуральне число і такі елементи , що .
Довести, що множина всіх чисел відрізка , запис яких у десятковій системі числення містить цифру 1 (хоча б в одному з разрядів), вимірна за Лебегом і знайти її міру Лебега.
Нахай цє міра, що задана на алгебрі підмножин множини . Довести, що для довільних елементів справедлива нерівність .
Довести, що функція вимірна за Лебегом на відрізку , якщо
Послідовність функцій і функція задані співвідношеннями: , Чи збігається ця послідовність до цієї функції на відрізку ? Якщо так, то якого виду ця збіжність?
Чи є сумовною функція на відрізку , якщо
Обчислити інтеграл , якщо
ВАРІАНТ 13
Нехай є такою сукупністю підмножин множини , що задовольняє умовам:
а) , б) .
Чи є множина кільцем?
Довести, що множина всіх чисел відрізка , запис яких у десятковій системі числення містить цифру 1 у другому розряді (рахуючи від початку дробової частини), вимірна за Лебегом і знайти її міру Лебега.
Нахай цє міра, що задана на алгебрі підмножин множини . Довести, що для довільних елементів справедлива нерівність .
Довести, що функція вимірна за Лебегом на відрізку , якщо .
Послідовність функцій і функція задані співвідношеннями: ; . Чи збігається ця послідовність до цієї функції на відрізку ? Якщо так, то якого виду ця збіжність?
Чи є сумовною функція на відрізку , якщо
Обчислити інтеграл , якщо
ВАРІАНТ 14
Нехай це сукупність всіх скінчених підмножин множини нескінченої мнохини і . Чи є -алгеброю?
Довести, що множина всіх чисел відрізка , запис яких у десятковій системі числення містить цифру 2 у третьому розряді (рахуючи від початку дробової частини), вимірна за Лебегом і знайти її міру Лебега.
Нахай цє міра, що задана на алгебрі підмножин множини . Довести, що для довільних елементів справедлива нерівність .
Довести, що функція вимірна за Лебегом на відрізку , якщо .
Послідовність функцій і функція задані співвідношеннями: . Чи збігається ця послідовність до цієї функції на відрізку ? Якщо так, то якого виду ця збіжність?
Чи є сумовною функція на відрізку , якщо
Обчислити інтеграл , якщо
ВАРІАНТ 15
Нехай це сукупність всіх скінчених підмножин довільної множини . Чи є -кільцем?
Довести, що множина всіх чисел відрізка , запис яких у десятковій системі числення містить цифру 3 у другому розряді (рахуючи від початку дробової частини), вимірна за Лебегом і знайти її міру Лебега.
Нехай міра задана на алгебрі підмножин множини . Довести, що для довільних справедливе співвідношення .
Довести, що функція вимірна за Лебегом на відрізку , якщо
Послідовність функцій і функція задані співвідношеннями: ; . Чи збігається ця послідовність до цієї функції на відрізку ? Якщо так, то якого виду ця збіжність?
Чи є сумовною функція на відрізку , якщо
Обчислити інтеграл , якщо
ВАРІАНТ 16
Доведіть, що -кільце підмножин множини є кільцем.
Нехай є множиною всіх простих чисел. Довести, що множина вимірна за Лебегом і знайти її міру Лебега.
Нахай міра задана на алгебрі підмножин множини . Довести, що для довільних справедливе співвідношення .
Довести, що функція вимірна за Лебегом на відрізку , якщо .
Послідовність функцій і функція задані співвідношеннями: . Чи збігається ця послідовність до цієї функції на відрізку ? Якщо так, то якого виду ця збіжність?
Чи є сумовною функція на відрізку , якщо
Обчислити інтеграл , якщо
ВАРІАНТ 17
Доведіть, що -алгебра підмножин множини є алгеброю.
Довести, що множина вимірна за Лебегом і знайти її міру Лебега.
Нахай міра задана на алгебрі підмножин множини . Довести, що для довільних справедлива нерівність .
Довести, що функція вимірна за Лебегом на відрізку , якщо
Послідовність функцій і функція задані співвідношеннями: ; . Чи збігається ця послідовність до цієї функції на відрізку ? Якщо так, то якого виду ця збіжність?
Чи є сумовною функція на відрізку , якщо
Обчислити інтеграл , якщо
ВАРІАНТ 18
Нехай це сукупність всіх таких підмножин множини нескінченої мнохини , кількість елементів кожної з яких не перевищує 2. Чи є півкільцем підмножин ?
Довести, що множина всіх чисел відрізка , запис яких у десятковій системі числення не містить цифру 1, вимірна за Лебегом і знайти її міру Лебега.
Нехай міра задана на алгебрі підмножин множини . Довести, що для довільних справедлива нерівність .
Довести, що функція вимірна за Лебегом на відрізку , якщо
Послідовність функцій і функція задані співвідношеннями: . Чи збігається ця послідовність до цієї функції на відрізку ? Якщо так, то якого виду ця збіжність?
Чи є сумовною функція на відрізку , якщо
Обчислити інтеграл , якщо
ВАРІАНТ 19
Нехай це сукупність всіх таких підмножин триелементної множини , кількість елементів кожної з яких не перевищує 2. Чи є півкільцем підмножин ?
Довести, що множина всіх чисел відрізка , запис яких у десятковій системі числення не містить цифру 2, вимірна за Лебегом і знайти її міру Лебега.
Нехай міра задана на алгебрі підмножин множини . Довести, що для довільних справедлива нерівність .
Довести, що функція вимірна за Лебегом на відрізку , якщо
Послідовність функцій і функція задані співвідношеннями: . Чи збігається ця послідовність до цієї функції на відрізку ? Якщо так, то якого виду ця збіжність?
Чи є сумовною функція на відрізку , якщо
Обчислити інтеграл , якщо
ВАРІАНТ 20
Нехай це сукупність всіх таких підмножин нескінченої множини , кількість елементів кожної з яких не перевищує 3. Чи є півкільцем підмножин ?
Довести, що множина всіх чисел відрізка , запис яких у десятковій системі числення не містить цифру 4, вимірна за Лебегом і знайти її міру Лебега.
Нехай міра задана на алгебрі підмножин множини . Довести, що для довільних справедлива нерівність .
Довести, що функція вимірна за Лебегом на відрізку , якщо
Послідовність функцій і функція задані співвідношеннями: . Чи збігається ця послідовність до цієї функції на відрізку ? Якщо так, то якого виду ця збіжність?
Чи є сумовною функція на відрізку , якщо
Обчислити інтеграл , якщо
ВАРІАНТ 21
Довести, що система підмножин , замкнута відносно операцій перетину і об’єднання, взагалі кажучи, не є кільцем.
Міри і задані на алгебрі підмножин . Чи є функція, що задана співвідношенням , мірою на ?
Навести приклад визначеної на відрізку простої функції, яка не є сумовною на цьому відрізку.
Послідовність вимірних за Лебегом на відрізку і майже всюди на невід’ємних функцій збігається за мірою до функції . Чи є функція майже всюди на невід’ємною?
Довести, що функція вимірна за Лебегом на відрізку , якщо .
Нехай множина не є вимірною за Лебегом. Наведіть приклад функції , яка визначена на відрізку і не є вимірною за Лебегом на цьому відрізку.
Нехай вимірні за Лебегом на відрізку функції і задовольняють нерівності . Чи є сумовною функція на відрізку , якщо функція не сумовна на цьому відрізку?
ВАРІАНТ 22
Довести, що система підмножин , замкнута відносно операцій перетину і різниці, є кільцем.
Послідовність мір, що задані на алгебрі підмножин має таку властивість, що для кожного елемента існує скінчена границя . Чи є функція , що задана співвідношенням , мірою на ?
Навести приклад визначеної на відрізку простої функції, яка не є сумовною на цьому відрізку.
Послідовність функцій простору збігається в середньому на до функції . Чи є функція майже всюди на невід’ємною, якщо кожна з функцій є майже всюди на невід’ємною?
Довести, що функція вимірна за Лебегом на відрізку , якщо .
Нехай функція визначена на і функція є вимірною за Лебегом на цьому відрізку. Чи є вимірною за Лебегом на відрізку функція ?
Нехай вимірна за Лебегом на відрізку функція є сумовною на цьому відрізку. Чи є функція сумовною на відрізку ?
ВАРІАНТ 23
Довести, що множина свіх проміжків на дійсній числовій прямій не є кільцем.
Чи є сумовною функція на відрізку , якщо
Навести приклад визначеної на відрізку простої функції, яка не є сумовною на цьому відрізку.
Послідовність функцій простору збігається в середньому квадратичному на до функції . Чи є функція майже всюди на невід’ємною, якщо кожна з функцій майже всюди на невід’ємна?
Довести, що функція вимірна за Лебегом на відрізку , якщо .
Нехай функція вимірна за Лебегом на відрізку . Чи є функція вимірною за Лебегом на цьому відрізку?
Нехай вимірна за Лебегом на відрізку функція задана таким чином, що функція є сумовною на відрізку . Чи є функція сумовною на відрізку ?
ВАРІАНТ 24
Довести, що множина свіх проміжків на дійсній числовій прямій є півкільцем.
Чи є сумовною функція на відрізку , якщо
Навести приклад визначеної на відрізку простої функції, яка не є сумовною на цьому відрізку.
Послідовність функцій простору збігається за мірою до функції . Чи збігається ця послідовність до цієї функції на ?
Довести, що функція вимірна за Лебегом на відрізку , якщо .
Нехай функція задана на відрізку так, що є вимірною за Лебегом на цьому відрізку. Чи є функція вимірною за Лебегом на відрізку .
Нехай вимірні за Лебегом на відрізку функції і задані так, що виконується нерівність . Відомо, що одна з них є сумовною на . Чи є інша функція також сумовною на цьому відрізку?
ВАРІАНТ 25
Чи є сукупність всіх проміжків , що належать відрізку , півкільцем?
Чи є сумовною функція на відрізку , якщо
Навести приклад визначеної на відрізку простої функції, яка не є сумовною на цьому відрізку.
Послідовність функцій простору збігається поточково на відрізку до функції . Чи збігається ця послідовність до цієї функції в середньому на ?
Довести, що функція вимірна за Лебегом на відрізку , якщо .
Функції і задані на відрізку так, що є вимірною за Лебегом на цьому проміжку функція. Чи є вимірною на цьому відрізку хоча б одна з цих функцій?
Нехай вимірні за Лебегом на відрізку і невід’ємні на цьому відрізку функції і задані так, що це сумовна на функція. Чи є кожна з функцій , сумовною на цьому відрізку?