2 Лінійний функціональний аналіз
ВАРІАНТ 1
Чи є множина компактною у метричному просторі ?
Нехай послідовність елементів лінійного нормованого простору збігається до елемента . Довести, що .
Чи є множина всіх алгебраїчних многочленів першого степеня підпростором лінійного нормованого простору ?
Довести, що є лінійний обмежений оператор і знайти його норму, якщо .
Довести, що є лінійний обмежений функціонал і знайти його норму, якщо .
ВАРІАНТ 2
Чи є множина компактною у метричному просторі ?
Довести, що скінчено вимірний лінійний нормований простір є банаховим.
Чи є множина всіх алгебраїчних многочленів парного степеня підпростором лінійного нормованого простору ?
Довести, що є лінійний обмежений оператор і знайти його норму, якщо .
Довести, що є лінійний обмежений функціонал і знайти його норму, якщо .
ВАРІАНТ 3
Чи є множина компактною у метричному просторі ?
Нехай послідовність елементів лінійного нормованого простору збігається до елемента . Довести, що .
Чи є множина всіх алгебраїчних многочленів непарного степеня підпростором лінійного нормованого простору ?
Довести, що є лінійний обмежений оператор і знайти його норму, якщо .
Довести, що є лінійний обмежений функціонал і знайти його норму, якщо .
ВАРІАНТ 4
Чи є множина компактною у метричному просторі ?
Довести, що підпростір банахового простору є банаховим простором.
Чи є множина всіх алгебраїчних многочленів підпростором лінійного нормованого простору ?
Довести, що є лінійний обмежений оператор і знайти його норму, якщо .
Довести, що є лінійний обмежений функціонал і знайти його норму, якщо .
ВАРІАНТ 5
Чи є множина компактною у метричному просторі ?
Нехай послідовність елементів лінійного нормованого простору збігається до елемента , а послідовність елементів задовольняє умові: . Довести, що послідовність збігається до .
Чи є множина всіх алгебраїчних многочленів степеня не вище підпростором лінійного нормованого простору ?
Довести, що є лінійний обмежений оператор і знайти його норму, якщо .
Довести, що є лінійний обмежений функціонал і знайти його норму, якщо .
ВАРІАНТ 6
Чи є множина компактною у метричному просторі ?
Нехай лінійна многостатність лінійного нормованого простору є повним простором відносно норми елементів . Довести, що є підпростором простору .
Чи є множина підпростором лінійного нормованого простору ?
Довести, що є лінійний обмежений оператор і знайти його норму, якщо .
Довести, що є лінійний обмежений функціонал і знайти його норму, якщо .
ВАРІАНТ 7
Чи є множина компактною у метричному просторі ?
Нехай послідовність елементів лінійного нормованого простору збігається до елемента . Довести, що для кожного елемента виконується співвідношення: .
Чи є множина підпростором лінійного нормованого простору ?
Довести, що є лінійний обмежений оператор і знайти його норму, якщо .
Довести, що є лінійний обмежений функціонал і знайти його норму, якщо .
ВАРІАНТ 8
Чи є множина компактною у метричному просторі ?
Нехай елементи евклідового простору задовольняють умовам взаємної ортогональності: , якщо . Довести, що .
Чи є множина незростаючих на відрізку функцій підпростором лінійного нормованого простору ?
Довести, що є лінійний обмежений оператор і знайти його норму, якщо .
Довести, що є лінійний обмежений функціонал і знайти його норму, якщо .
ВАРІАНТ 9
Чи є множина компактною у метричному просторі ?
Чи можливо на лінійному просторі неперервно-диференційовних на функцій визначити норму елемента за допомогою співвідношення ?
Чи є множина неспадних на відрізку функцій підпростором лінійного нормованого простору ?
Довести, що є лінійний обмежений оператор і знайти його норму, якщо .
Довести, що є лінійний обмежений функціонал і знайти його норму, якщо .
ВАРІАНТ 10
Чи є множина компактною у метричному просторі ?
Нехай є лічильна ортонормована система елементів гільбертового простору і є числова послідовність. Довести, що ряд збігається в тоді і тільки тоді, коли збігається числовий ряд .
Чи є множина всіх незростаючих неперервних на відрізку функцій підпростором лінійного нормованого простору ?
Довести, що є лінійний обмежений оператор і знайти його норму, якщо .
Довести, що є лінійний обмежений функціонал і знайти його норму, якщо .
ВАРІАНТ 11
Чи є множина компактною у метричному просторі ?
Чи можливо на лінійному просторі неперервно-диференційованих на функцій визначити норму елемента за допомогою співвідношення ?
Чи є множина всіх неспадних та неперервних на відрізку функцій підпростором лінійного нормованого простору ?
Довести, що є лінійний обмежений оператор і знайти його норму, якщо .
Довести, що є лінійний обмежений функціонал і знайти його норму, якщо .
ВАРІАНТ 12
Чи є множина компактною у метричному просторі ?
Нехай елементи , належать замкненій одиничній кулі гільбертова простора для кожного натурального і . Довести, що .
Чи є множина підпростором лінійного нормованого простору ?
Довести, що є лінійний обмежений оператор і знайти його норму, якщо .
Довести, що є лінійний обмежений функціонал і знайти його норму, якщо .
ВАРІАНТ 13
Чи є множина компактною у метричному просторі ?
Чи можливо на лінійному просторі неперервно-диференційованих на функцій визначити норму елемента наступним співвідношенням ?
Чи є множина підпростором лінійного нормованого простору ?
Довести, що є лінійний обмежений оператор і знайти його норму, якщо .
Довести, що є лінійний обмежений функціонал і знайти його норму, якщо .
ВАРІАНТ 14
Чи є множина компактною у метричному просторі ?
Довести, що елемент гільбертового простору є ортогональним підпростору цього простору тоді і тільки тоді , коли для кожного елемента має місце нерівність: .
Чи є множина підпростором лінійного нормованого простору ?
Довести, що є лінійний обмежений оператор і знайти його норму, якщо .
Довести, що є лінійний обмежений функціонал і знайти його норму, якщо .
ВАРІАНТ 15
Чи є множина компактною у метричному просторі ?
Чи можливо на лінійному просторі неперервно-диференційованих на функцій визначити норму елемента наступним співвідношенням ?
Чи є множина підпростором лінійного нормованого простору ?
Довести, що є лінійний обмежений оператор і знайти його норму, якщо
Довести, що є лінійний обмежений функціонал і знайти його норму, якщо .
ВАРІАНТ 16
Чи є множина компактною у метричному просторі ?
Довести, що для кожної множини гільбертового простору множина є підпростором .
Чи є множина підпростором лінійного нормованого простору ?
Довести, що є лінійний обмежений оператор і знайти його норму, якщо .
Довести, що є лінійний обмежений функціонал і знайти його норму, якщо .
ВАРІАНТ 17
Чи є множина компактною у метричному просторі ?
Чи можливо на лінійному просторі неперервно-диференційованих на функцій визначити норму елемента наступним співвідношенням ?
Чи є множина підпростором лінійного нормованого простору ?
Довести, що є лінійний обмежений оператор і знайти його норму, якщо , , , .
Довести, що є лінійний обмежений функціонал і знайти його норму, якщо .
ВАРІАНТ 18
Чи є множина компактною у метричному просторі ?
Нехай є множина всіх алгебраїчних многочленів ступеню не вище . Чи є множина компактною у просторі ?
Чи є множина підпростором лінійного нормованого простору ?
Довести, що є лінійний обмежений оператор і знайти його норму, якщо .
Довести, що є лінійний обмежений функціонал і знайти його норму, якщо .
ВАРІАНТ 19
Чи є множина компактною у метричному просторі ?
Чи можливо на лінійному просторі неперервно-диференційованих на функцій визначити норму елемента наступним співвідношенням ?
Чи є множина підпростором лінійного нормованого простору ?
Довести, що є лінійний обмежений оператор і знайти його норму, якщо .
Довести, що є лінійний обмежений функціонал і знайти його норму, якщо .
ВАРІАНТ 20
Чи є множина компактною у метричному просторі ?
Чи можливо на лінійному просторі неперервно-диференційованих на функцій визначити норму елемента наступним співвідношенням ?
Чи є множина підпростором лінійного нормованого простору ?
Довести, що є лінійний обмежений оператор і знайти його норму, якщо .
Довести, що є лінійний обмежений функціонал і знайти його норму, якщо .
ВАРІАНТ 21
Чи є множина компактною у метричному просторі ?
Чи можливо на лінійному просторі неперервно-диференційованих на функцій визначити норму елемента наступним співвідношенням ?
Чи є множина підпростором лінійного нормованого простору ?
Довести, що є лінійний обмежений оператор і знайти його норму, якщо .
Довести, що є лінійний обмежений функціонал і знайти його норму, якщо .
ВАРІАНТ 22
Чи є множина компактною у метричному просторі ?
Чи можливо на лінійному просторі неперервно-диференційованих на функцій визначити норму елемента наступним співвідношенням ?
Чи є множина підпростором лінійного нормованого простору ?
Довести, що є лінійний обмежений оператор і знайти його норму, якщо .
Довести, що є лінійний обмежений функціонал і знайти його норму, якщо .
ВАРІАНТ 23
Чи є множина компактною у метричному просторі ?
Чи можливо на лінійному просторі неперервно-диференційованих на функцій визначити норму елемента наступним співвідношенням ?
Чи є множина підпростором лінійного нормованого простору ?
Довести, що є лінійний обмежений оператор і знайти його норму, якщо .
Довести, що є лінійний обмежений функціонал і знайти його норму, якщо .
ВАРІАНТ 24
Чи є множина компактною у метричному просторі ?
Чи можливо на лінійному просторі неперервно-диференційованих на функцій визначити норму елемента наступним співвідношенням ?
Чи є множина підпростором лінійного нормованого простору ?
Довести, що є лінійний обмежений оператор і знайти його норму, якщо .
Довести, що є лінійний обмежений функціонал і знайти його норму, якщо .
ВАРІАНТ 25
Чи є множина компактною у метричному просторі ?
Чи можливо на лінійному просторі неперервно-диференційованих на функцій визначити норму елемента наступним співвідношенням ?
Чи є множина підпростором лінійного нормованого простору ?
Довести, що є лінійний обмежений оператор і знайти його норму, якщо .
Довести, що є лінійний обмежений функціонал і знайти його норму, якщо .