12Нормальный закон на плоскости. Уравнение линии регрессии
В общем случае нормальный закон на плоскости задаётся плотностью распределения системы двух случайных величин формулой вида:
(1)Где
– математические ожидания случайных
величин, входящих в систему;
– средне квадратичные отклонения (СКО)
случайных величин Х и Y;
– коэффициент корелляции между случайными
величинами.
Доказывается, что безусловная плотность распределения случайных величин Х и Y распределены по нормальному закону.
(2)
(3)
Условные плотности распределения случайных величин Х и Y определяются по формулам:
(4)
Если сделать некоторые алгебраические преобразования над степенью экспоненты ("exp"), то выражение (4) можно представить в виде:
(5)
Можно заметить, что условная плотность распределения также имеет нормальный закон распределения с характеристиками:
(6)
x – фиксированная постоянная (конкретная) величина.
Выражение (6) называется уравнением линии регрессии. Оно характеризует, как изменяется математическое ожидание случайной величины Y при принятом значении случайной величины Х.
Аналогичное уравнение можно получить и для случайной величины Х:
(7)
На плоскости xOy данные характеристики можно проиллюстрировать таким образом:
Пусть случайная точка может оказаться только на некоторой области.
СКО:
13Функции от случайных аргументов
Часто возникает необходимость определить не характеристики случайных величин или их законы распределения, а характеристики функции от случайных аргументов.
Любая функция от случайных аргументов является также случайной величиной, свойства которой определяются характеристиками случайных величин – такими как закон распределения, математическое ожидание, дисперсия и другие начальные и центральные моменты.
Для определения числовых характеристик функции от случайных аргументов достаточно знать законы распределения этих случайных аргументов.
Пусть задана функция Y = φ(X), при этом Х – случайная величина с известным законом распределения. Пусть х является дискретной случайной величиной с заданным рядом распределения
Х |
х1 |
х2 |
... |
хn |
Y |
Р1 |
Р2 |
... |
Рn |
Рассмотрим ряд вида:
Y |
φ(х1) |
φ(х2) |
... |
φ(хn) |
Pi |
P1 |
P2 |
... |
Pn |
В общем случае этот ряд не является рядом распределения величины Y, так как в нём могут повторяться значения функции φ(хi).
Однако с помощью этого ряда можно определить числовые характеристики величины Y:
Если случайная величина непрерывна, то соответствующие характеристики определяются по формулам:
где f(x) – плотность распределения случайной величины Х.
Если функция зависит
от совокупности аргументов, т.е.
,
где
- система случайных величин, то
математическое ожидание и дисперсия
этой функции будет определяться по
формулам:
где
-
плотность распределения системы.
В тех случаях, когда функция y является линейной функцией от случайных аргументов, то её числовые характеристики могут быть определены по числовым характеристикам случайных аргументов.
Числовые характеристики линейных функций от случайных аргументов определяются по теоремам о числовых характеристиках функции от случайных аргументов.