- •20. Центральная предельная теорема
- •42.Проверка гипотеза о зависимости (независимости) случайных величин
- •41. Проверка гипотеза о зависимости (независимости) случайных величин
- •2.Билет
- •4Билет Формула полной вероятности
- •7Законы распределения дискретных случайных величин
- •8Распределение непрерывных случайных величин
- •9Системы случайных величин
- •10Условные законы распределения случайных величин, входящих в систему
- •12Нормальный закон на плоскости. Уравнение линии регрессии
- •13Функции от случайных аргументов
- •14 Билет
- •15Закон распределения функции от случайного аргумента общего вида
- •16Законы распределения функции от произвольного числа случайных аргументов
- •17Предельные теоремы теории вероятностей
- •18Частная теорема Чебышева
- •19Теорема Бернулли и Пуассона
2.Билет
Классическое определение вероятности событий: оно основывается на понятии равновозможности появления одного из n исходов при проведении опыта. Если в результате проведения опыта может произойти n исходов, а некоторому событию благоприятствует исходов, то вероятность данного события определяется по формуле: где – вероятность;( ) – записывается событие, ( ) – рассматривается событие ; – число возможных исходов; – число благоприятных исходов.
Вероятность определяется ещё до опыта.
Статистическое определение вероятности: классическое определение вероятностей при переходе от простейших примеров к сложным становится неприменимым, так как во многих случаях не представляется возможным обосновать равновозможность всех исходов, которые могут произойти в результате проведения опыта. В этом случае вероятность события определяется по статистической схеме. Проводится n независимых опытов, определяется число опытов , при которых появляется событие , и статистическая вероятность определяется по формуле:
Геометрическая вероятность: с начала развития теории вероятностей были замечены недостатки как классического, так и статистического определения вероятности события. Это возникало в тех случаях, когда число возможных исходов при проведении опыта было равно бесконечности и число благоприятных исходов равнялось бесконечности. Поэтому было введено такое понятие как геометрическая вероятность.
Пусть множество М является возможными исходами. При этом данное множество является подмножеством либо числовой оси R (множество чисел), либо квадрата R2 (плоскость), либо R3 (объём) и т.д.
Для решения вероятностей задачи вводится понятие меры некоторого события А: (А) ("мю"). Под мерой события А может пониматься длина, площадь и т.д. Наряду с этой мерой вводится мера множества М - (М). Тогда геометрическая вероятность события А определяется по формуле:
Для того чтобы все эти понятия объединить в единое понятие, Колмогоров разработал аксиоматическое построение теории вероятности.
Основные аксиомы теории вероятностей:
Каждому случайному событию А из поля событий F поставлено в соответствие неотрицательное число Р(А), называемое вероятностью события А.
Вероятность достоверного события равняется 1 (единице), а вероятность невозможного события равняется 0 (нулю).
Вероятность события А определяется в промежутке: 0 Р(А) 1.
Если события А1, А2, ..., Аn попарно несовместны, то вероятность суммы этих событий равна сумме вероятностей этих событий:
Р(А1, А2, ..., Аn) = Р(А1) + Р(А2) +...+ Р(Аn)
Если события А1, А2, ..., Аn представляют полную группу попарно несовместных событий, то вероятность суммы этих событий равна 1, то есть:
Из этой аксиомы следует:
Р(А) + Р(А) = 1 Р(А) = 1 – Р(А)
3билет
"О" Произведением двух событий А и В называется событие АВ, состоящее в том, что произойдёт и событие А, и событие В.
При рассмотрении вопроса произведения двух событий важным понятием является условная вероятность события.
"О" Вероятность события В называется условной, если она вычислена при условии, что событие А произошло, обозначается: Р(В/А).
"Т" Вероятность произведения двух событий равна произведению безусловной вероятности одного из событий на условную вероятность второго события, то есть вычисленную при условии, что первое событие произошло:
Р(АВ) = Р(А)Р(В/А) = Р(В)Р(А/В)
Доказательство: Докажем эту теорему по схеме равновозможных исходов. Пусть результат опыта сводится к появлению одного из n равнозначных исходов.
Пусть некоторому событию А благоприятствует m исходов, а событию В – k исходов, обоим событиям благоприятствует l исходов. Так как все исходы равновозможны, то событие АВ по классической схеме равно отношению l к n, то есть: (1)
Безусловная вероятность события А: (2)
Если произошло событие А, то вероятность того, что произойдёт один из l исходов, то есть что произойдёт событие В, будет равняться: (3)
Очевидно, что выражение (1) равно произведению выражений (2) и (3), то есть: что и требовалось доказать.Теорему о вероятности произведения двух событий можно распространить на вероятность произведения числа событий:
Если события А1, А2, ..., Аn независимы, то вероятность произведения этих событий равна произведению их вероятностей:
Теорема о вероятности суммы событий
"О" Суммой двух событий называется событие, заключающееся в том, что произойдёт либо событие А, либо событие В, либо вместе А и В (обозначается: А + В).
"Т" Вероятность суммы двух событий равна сумме их вероятностей минус их произведение: (1)
Доказательство: Согласно определению суммы двух событий можно записать (2)
События, стоящие в правой части данного выражения, являются несовместными, поэтому на основании аксиомы теории вероятностей о сумме несовместных событий можно записать:
(3)
Определим произведение каждого их двух событий правой части:
Если подставить выражение (4) в выражение (3) и привести подобные, то получим:
,
, что и требовалось доказать.
Если события и несовместны, то вероятность суммы этих событий равна сумме их вероятностей:
Теорему о вероятности двух событий можно распространить и на вероятность суммы произвольного числа событий:
где – число суммируемых событий.