- •20. Центральная предельная теорема
- •42.Проверка гипотеза о зависимости (независимости) случайных величин
- •41. Проверка гипотеза о зависимости (независимости) случайных величин
- •2.Билет
- •4Билет Формула полной вероятности
- •7Законы распределения дискретных случайных величин
- •8Распределение непрерывных случайных величин
- •9Системы случайных величин
- •10Условные законы распределения случайных величин, входящих в систему
- •12Нормальный закон на плоскости. Уравнение линии регрессии
- •13Функции от случайных аргументов
- •14 Билет
- •15Закон распределения функции от случайного аргумента общего вида
- •16Законы распределения функции от произвольного числа случайных аргументов
- •17Предельные теоремы теории вероятностей
- •18Частная теорема Чебышева
- •19Теорема Бернулли и Пуассона
14 Билет
"Т1" Пусть У = С (с – const). Тогда математическое ожидание случайной величины У равняется этой константе, то есть справедлива формула:
"Т2" Дисперсия постоянной величины равняется 0:
"Т3" Пусть функция - это произведение неслучайной величины на случайную. Тогда математическое ожидание произведения неслучайной величины на случайную равняется произведению неслучайной величины на математическое ожидание случайной величины, т.е.:
Доказательство: Рассмотрим случай дискретной случайной величины:
Согласно свойствам суммы, постоянную можно вынести за знак суммы:
"Т4" Дисперсия произведения неслучайной величины на случайную равняется произведению квадрата неслучайной величины на дисперсию случайной величины, т.е.:
Доказательство: Дисперсию произведения можно представить в виде:
Согласно теореме о математическом ожидании произведения неслучайной величины на случайную, данное выражение можно записать в виде:
"Т5" Пусть дана функция , равная сумме двух случайных величин. Тогда математическое ожидание суммы двух случайных величин равняется сумме их математических ожиданий, т.е.:
Доказательство: Рассмотрим систему двух дискретных случайных величин с известным законом распределения. Тогда математическое ожидание суммы двух случайных величин можно представить в виде:
,
где - это вероятность того, что сумма (X +Y) примет значения i и j.
На основании свойств суммы данное выражение можно записать в виде:
.
Если учесть, что , а , то математическое ожидание суммы можно заменить выражением вида:
, что и требовалось доказать.
"Т6" Пусть дана функция . Тогда дисперсия суммы двух случайных величин будет равна сумме дисперсий этих случайных величин плюс удвоенное произведение корелляционного момента между этими случайными величинами, т.е.:
Доказательство: Представим центрированную случайную величину в виде:
Согласно определению дисперсии случайной величины, дисперсию случайных величин можно представить как математическое ожидание квадрата центрированной случайной величины :
или:
а так как , а , то:
Представим правую часть данного выражения в виде:
На основании теоремы о математическом ожидании суммы случайных величин можно записать, что дисперсия суммы равняется:
, что и требовалось доказать.
"Т7" Математическое ожидание произведения двух случайных величин равняется произведению их математических ожиданий плюс корелляционный момент между ними.
Доказательство: Известно, что корелляционный момент между двумя случайными величинами равен математическому ожиданию произведения центрированных случайных величин:
Запишем данное выражение в виде:
На основании теоремы о математическом ожидании суммы:
Следовательно, и , что и требовалось доказать.
Очевидно, если случайные величины некореллированы, то математическое ожидание произведения этих случайных величин равняется произведению их математических ожиданий: