13. Сложное движение точки. Теорема о сложении скоростей и ускорений.

Сложным называется такое движение тела при котором оно одновременно участвует в двух или нескольких движениях. В рассмотрение вводится подвижная и неподвижная система отсчёта аналогично сложному движению тела. Сложное движение тела рассматривается как совокупность двух движений – относительного и переносного. В этом случае вводится подвижная система координат (Oxyz), которая совершает заданное движение относительно неподвижной (основной) системы координат (O₁x₁y₁z₁). Абсолютным движением точки назыв. движение по отношению к неподвижной системе координат. Относительное движение – движение по отношению к подвижной системе коорд. (движение по вагону). Переносное движение – движение подвижной сист. координат относительно неподвижной (движение вагона).

Т еорема сложения скоростей при сложном движении точки

Для установления связи между скоростями точки в двух системах отсчета воспользуемся следующими векторными равенствами (см. рис. 1.73):

 (1.79)  (1.80)  (1.81)

Поскольку при определении относительной скорости можно "забыть" о переносном движении, т.е. считать оси о1х1у1z1 неподвижными, продифференцировав равенство (1.80) в этом предположении, найдем

 (1.82)

Таким образом, относительная скорость точки в сложном движении определяется обычными методами кинематики точки для неподвижных систем координат. При определении переносной скорости исключаем относительное движение, т.е. полагаем |  | = const. Продифференцировав векторное равенство (1.80) в этом предположении, найдем

Учитывая, что  =  - скорость начала подвижной системы координат, а   , где   - угловая скорость переносного движения системы, окончательно получаем

 (1.83)

Формула (1.83) определяет вектор переносной скорости точки в общем случае свободного переносного движения. В частных случаях переносного движения формула (1.83) упрощается, например при поступательном переносном движении  = 0, а при вращательном переносном 

Абсолютную скорость точки найдем, продифференцировав по времени векторное равенство (1.81)

Учитывая, что   а также равенства (1.82) и (1.83), получаем 

 (1.84)

Формула (1.84) представляет собой математическую запись теоремы о сложении скоростей в сложном движении: абсолютная скорость точки равна геометрической сумме ее переносной и относительной скоростей. Модуль определяем по теореме косинусов

 (1.85)

Теорема о сложении ускорений. Абсолютное ускорение, характеризующее изменение абсолютной скорости в абсолютном движении, найдем, продифференцировав по времени векторное равенство (1.84):

 (1.87)

1 группа - производные только от векторов  2 группа - производные только от относительных координат; 3 группа - производные от векторов и относительных координат Каждая из групп соответствует некоторому ускорению. Переносное ускорение   - вычисляется, как если бы точка М покоилась по отношению подвижной системы осей (x1, y1, z1 = const) и перемещалась вместе с ними по отношению к неподвижной системе; - вычисляется, как если бы координаты x1, y1, z1 менялись, а векторы были постоянны. Последнее слагаемое называют п о в о р о т н ы м ускорением или ускорением Кориолиса - по имени французского ученого Гюстава Кориолиса (1792-1843).

, используя формулы Пуассона  ;   ;   , получим  итак  (1.87)

Формула абсолютного ускорения точки в сложном движении принимает следующий вид

Абсолютное ускорение точки в сложном движении равно геометрической сумме ее переносного, относительного и поворотного ускорений.  Модуль и направление ускорения Кориолиса. Поворотное ускорение характеризует одновременно и изменение вектора переносной скорости в относительном движении, и изменение вектора относительной скорости в переносном движении (рис. 1.74).  Модуль поворотного ускорения, как это следует из определения векторного произведения

 (1.89)

Поворотное ускорение может быть равно нулю в трех случаях: или   , или   , или относительная скорость параллельна оси переносного вращения (например, точка перемещается по образующей цилиндра, вращающегося вокруг оси своей симметрии).

а б

Рис. 1.74 Рис. 1.75

Для определения направления поворотного ускорения используется или обычное правило векторного произведения, или правило Н.Е.Жуковского. Рассмотрим оба этих правила. Как известно, вектор   векторного произведения 2( ) перпендикулярен плоскости перемножаемых векторов и направлен в ту сторону, откуда поворот первого вектора в произведении ко второму на наименьший угол виден против движения часовой стрелки (рис. 1.75а).  Согласно правилу Н.Е.Жуковского, (рис. 1.75б) чтобы найти направление поворотного ускорения, нужно спроецировать относительную скорость точки на плоскость, перпендикулярную оси переносного вращения   , и повернуть эту проекцию в той же плоскости на 90° в сторону переносного вращения (рисунок 1.75б).