15. Нормальное падение плоской волны на границу раздела двух сред. Формулы Френеля

Пусть плоскость xOy разделяет среды, диэлектрическая и магнитная проницаемости, которых соответственно равны:

при z<0 при z>0

Плоская однородная электромагнитная волна, распространяясь в левом полупространстве, имеющем волновое сопротивление , падает на границу раздела. Комплексные амплитуды векторов H и E падающей волны запишем в виде:

Чтобы удовлетворить граничным условиям при z =0, необходимо предположить существование отраженной волны:

Z ≤ 0

распространяющейся в первой среде в обратном направлении, и волны, прошедшей во вторую среду с волновым сопротивлением :

Векторы поля параллельны границе xOy и, значит, имеют только тангенциальные составляющие, поэтому они непрерывны на ней:

Отсюда при z = 0 получим

A-B=C ; (A+B)

Отношения комплексных амплитуд на границе раздела:

и

называются соответственно коэффициентом отражения и коэффициентом прохождения. Внося эти обозначения получим

Откуда:

Это формулы Френеля.

Итак, электромагнитное поле в первой среде представляет собой суперпозицию падающей и отраженной волн:

Z ≤ 0

а во второй – прошедшую волну:

Z ≥ 0

Легко заметить, что амплитуда поля в первой среде периодически изменяется вдоль оси z.

мы констатируем, что амплитуда пропорциональна модулю комплексного числа

Амплитуда меняется по нормальному закону

2k z 2

т.е., как видно из этого условия, на расстоянии половины волны:

При резком различии волновых сопротивлений коэффициент отражения близок к единице, и амплитуда поля периодически спадает почти до нуля. Рассмотрим два предельных случая.

1. Согласование сред. Если , что возможно лишь при соотношении проницаемостей

=0, т.е. отражение отсутствует, а амплитуда поля в обеих средах (если не говорить о поглощении) не изменяется.

2. Полное отражение. Если волна падает на границу с идеально проводящей средой ( , то

=0 и =-1 Поле не проникает во вторую среду, в первой же оно имеет вид:

В отсутствии поглощения электрическое и магнитное поля во всем пространстве остаются неизменными по фазе и имеют фазовый сдвиг . Таким образом, среднее значение вектора Пойнтинга в любой точке поля равно нулю, и передачи энергии нет. Магнитное поле при этом распределено косинусоидально, а электрическое – синусоидально от границы . Это обстоятельство отмечается как «пространственный сдвиг» полей на четверть волны. Электромагнитное поле этого вида называется стоячей волной.

16. Наклонное падение плоских волн на границу раздела двух сред. Формулы Френеля для горизонтально и вертикально поляризованных волн.

1)Формулы Френеля для горизонтально поляризованных волн

Комплексные амплитуды падающих волн, распространяющихся в направлении z’ в штрихованной системе координат, записываются в виде

Здесь – волновое сопротивление первой среды.

Переходя к основным координатам (x, y, z) и учитывая, что x’ совпадает с x, запишем поле падающей волны при значениях направляющих косинусов

l cos2 0, m cos(2 ) sin, n cos:

Напряженность магнитного поля отраженной волны:

замену углов

В результате получим

Аналогично действуя для преломленных волн, получим:

Ввиду того, что граничные условия нужно выполнять вдоль всей оси Y, все три волны - падающая, отраженная и преломленная – должны иметь одинаковую зависимость от координаты у . Следовательно, коэффициенты при y должны быть равны

Отсюда вытекают известные законы Снеллиуса:

1. угол отражения равен углу падения: ;

2. угол падения и преломления связанны зависимостью: ,

где

формулы Френеля для горизонтально поляризованной волны:

2)Формулы Френеля для вертикально поляризованных волн

приведем значения комплексных амплитуд.

Для падающей волны это будет:

Для отраженной волны

Для преломленной волны

Воспользуемся граничными условиями и получим систему уравнений:

Введя коэффициенты отражения и прохождения

Представив их,получим формулы Френеля для вертикально поляризованной волны: