7. Общее уравнение баланса энергии в электромагнитном поле.

Дальнейшее обсуждение будет опираться на уравнения Максвелла. Все члены второго из них умножим на H , а все члены первого - на E :

Вычтем левую и правую части второй строчки из соответствующих частей первой, тогда слева получим выражение HrotE - ErotH , которое мы свернем, т.к. оно равно div[E,H ]. В результате будем иметь

Привдадим интегральную форму выражению,проинтегрируем по некотрому обему V поверхности S. Преобразуем на основании теоремы Остроградского – Гаусса:

(1)

Это и есть уравнение баланса энергии поля в объеме V.

Следующим важным моментом является тот факт, что для всякой энергетически изолированной системы уравнение баланса энергии имеет вид

где W-запас энергии.

Если граница S области V является энергетически изолирующей и при наличии поля внутри объема V оно отсутствует во внешней среде, то поверхностный интеграл в (1) равен нулю. Таким образом, равенство (1) принимает вид

Это и есть уравнение баланса энергии для изолированной системы.

B результате определена временная производная запаса энергии, перейдем у общему случаю, запишем в вмде

(2)

Очевидно, что равенство (1) предстает как уравнение баланса энергии в области V, причем вследствие не изолированности системы появился дополнительный член в виде поверхностного интеграла

Величина есть поток вектора

через границу S области V. Вектор П называется вектором Пойнтинга.Поток вектора Пойнтинга П показывает, насколько внутренние процессы не уравновешены. Если, например, >0, то это означает потери энергии в области V из-за перехода энергии во внешнее пространство. В таком случае говорят об активном балансе энергии. Если же <0, то энергия поступает в объем V извне – пассивный баланс энергии. В обоих случаяхабсолютная величина есть не что иное, как энергия, проходящая через граничную поверхность S за единицу времени. Поэтому называют потоком

энергии через S. Положительный поток энергии равен, таким образом, мощности излучения во внешнее пространство, а отрицательный – мощности поглощаемого внешнего излучения.

Баланс будем называть активным, когда >0, т.е. отдача энергии во внешнее пространство преобладает (а, б); согласно (2) при этом dW dt + P < 0 . В случае чистого излучения (а) может оказаться, что внутренний запас энергии остается постоянным: W=const, тогда, как видно, = -Р. Поскольку S P <0, то Р<0: излучение создается сторонними силами в объеме V.

Наконец, если = 0 , это нейтральный баланс энергии. Поток энергии в данном случае может проходить насквозь, так что число входящих линий вектора Пойнтинга равно числу выходящих; он так же может не входить в область V или вообще отсутствовать.

8. Уравнения Максвелла для электростатического поля

Круг задач, которые могут быть решены в электростатическом приближении, довольно ограничен, так как в этой модели считается, что проводящие заряженные тела окружены идеальным диэлектриком и никаких временных изменений не происходит. Вместе с тем, результаты, полученные при исследовании явлений этого класса, часто используются на практике. Ранее было показано, что не изменяющееся во времени электрическое поле в пространстве без токов - электростатическое поле. Оно не связано с магнитным полем и определяется следующей системой уравнений

rotE = 0, D = E divD =p