- •Лабораторная работа № 13. Дифференциальные уравнения первого порядка.
- •I. Краткие теоретические сведения.
- •1.1. Понятие дифференциального уравнения.
- •1.2. Дифференциальные уравнения первого порядка.
- •1.2.1. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными.
- •1.2.2. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка.
- •1.2.3. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка.
- •Метод произведения.
- •Метод Лагранжа.
- •Метод произведения.
- •1.2.4. Уравнение Бернулли.
- •1.2.5. Уравнения в полных дифференциалах.
- •II. Примеры решения заданий практической части.
- •Найти общее решение дифференциального уравнения.
- •Найти частное решение дифференциального уравнения .
- •Метод Лагранжа.
- •Метод произведения.
- •III. Задания для практической части.
- •Найти общее решение дифференциального уравнения.
- •Найти частное решение дифференциального уравнения.
II. Примеры решения заданий практической части.
Найти общее решение дифференциального уравнения.
1. .
Решение. Уравнение является уравнением с разделяющимися переменными (4). Преобразуем данное уравнение: ; ; или .
Проинтегрируем обе части полученного равенства: ;
;
;
; . Выразим из последнего равенства у явно: ; ; .
Ответ: .
2. .
Решение. Выразим в данном уравнении : ; . Проверим, является ли функция однородной нулевого порядка.
, следовательно, f(x,y) – однородная функция нулевого порядка. Поэтому уравнение или является однородным дифференциальным уравнением первого порядка (5). Решим полученное уравнение с помощью замены y=kx.
y=kx, где к=к(х), тогда у=кх+к, получаем:
; ; ; ; ; ; .
Последнее уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. «Разделяем» переменные: . Проинтегрируем обе части полученного равенства: .
;
;
. Преобразуем полученное равенство: ; ; .
Вернемся к переменным х и у: , ; ; .
Ответ: .
3. .
Решение. Преобразуем данное уравнение, для того чтобы определить его тип.
; ; .
Полученное уравнение является уравнением Бернулли (7), решать которое будем методом произведения.
Пусть у=u(x)v(x), тогда у=u(x)v(x)+ u (x)v(x), получаем
, сгруппируем второе и третье слагаемое левой части и общий множитель u вынесем за скобку . (*)
Найдем функцию v(x) из условия ; ; ; . Проинтегрируем обе части последнего равенства: ; (постоянную интегрирования считаем равной 0: С=0), откуда .
Полученное выражение для v подставляем в равенство (*), учитывая, что : ; ; .
Последнее уравнение является уравнением с разделяющимися переменными: ; . Проинтегрируем обе части последнего равенства: ;
;
Воспользуемся методом интегрирования «по частям»:
;
, откуда находим
; .
Таким образом, или .
Ответ: .
4. .
Решение. Проверим, является ли данное дифференциальное уравнение уравнением в полных дифференциалах. Для этого обозначим , . Проверим, выполняется ли условие .
, , очевидно, что , следовательно, данное уравнение является уравнением в полных дифференциалах.
Тогда его общее решение можно найти по формуле
, где .
Таким образом, .
Ответ: .
Найти частное решение дифференциального уравнения .
Решение.
Преобразуем уравнение, чтобы определить его тип: ; ; ; ; ; .
Полученное уравнение является линейным дифференциальным уравнением первого порядка (6), решать которое можно двумя способами: методом Лагранжа (вариации произвольной постоянной) или методом произведения. Рассмотрим оба метода.
Метод Лагранжа.
Запишем и найдем общее решение линейного однородного дифференциального уравнения, соответствующего данному: .
; ; ; ; ; ; ; .
Общее решение данного линейного дифференциального уравнения будем искать в виде , считая С=С(х).
Так как функция является решением уравнения, то при подстановке ее, а также ее производной в уравнение получим верное равенство.
; ;
; ; ; ; ; ; ; .
Запишем общее решение данного линейного дифференциального уравнения: .