- •Лабораторная работа № 13. Дифференциальные уравнения первого порядка.
- •I. Краткие теоретические сведения.
- •1.1. Понятие дифференциального уравнения.
- •1.2. Дифференциальные уравнения первого порядка.
- •1.2.1. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными.
- •1.2.2. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка.
- •1.2.3. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка.
- •Метод произведения.
- •Метод Лагранжа.
- •Метод произведения.
- •1.2.4. Уравнение Бернулли.
- •1.2.5. Уравнения в полных дифференциалах.
- •II. Примеры решения заданий практической части.
- •Найти общее решение дифференциального уравнения.
- •Найти частное решение дифференциального уравнения .
- •Метод Лагранжа.
- •Метод произведения.
- •III. Задания для практической части.
- •Найти общее решение дифференциального уравнения.
- •Найти частное решение дифференциального уравнения.
Метод произведения.
Будем искать решение уравнения у¢-у=ех в виде y=u(x)×v(x), где u(x) и v(x) – некоторые пока неизвестные функции. Подставим функцию y=u(x)×v(x) в уравнение у¢-у=ех: u¢×v+u×v¢-u×v=ех. Сгруппируем второе и третье слагаемые: u¢×v +u×(v¢-v)=ех.
Функцию v(x) найдем из условия v¢-v=0.
v¢=-v, разделим переменные: ; проинтегрируем обе части: ; . В данном случае примем С=0 и возьмем знак «+»: .
Подставим полученное выражение в уравнение u¢×v +u×(v¢- v)=ех: .
. Проинтегрируем обе части: .
Таким образом, решением ДУ у¢-у=ех является функция у=(х+С)ех или у=хех +Сех.
1.2.4. Уравнение Бернулли.
Определение. Уравнением Бернулли называют дифференциальное уравнение вида: у¢+р(х)у=f(х)уn (7)
Уравнение такого вида можно решать методом произведения. Будем искать решение ДУ (7) в виде
y=u(x)×v(x), где u(x) и v(x) – некоторые пока неизвестные функции. Подставим функцию y=u(x)×v(x) в уравнение (7): у¢+р(х)у=f(х)уn:
u¢×v +u×v¢+ u×v×р(х)=f(х)unvn. Сгруппируем второе и третье слагаемые: u¢×v +u×(v¢+ v×р(х))=f(х)unvn.
Функцию v(x) найдем из условия v¢+ v×р(х)=0.
v¢=-v×р(х), разделим переменные: ; проинтегрируем обе части: ; . В данном случае примем С=0 и возьмем знак «+»: .
Подставим функцию j(х) в уравнение u¢×v +u×(v¢+ v×р(х))=f(х)unvn: u¢×j(x)=f(х)un jn. Получаем ДУ u¢=f(х)un j(х)n-1, из которого теперь найдем значение функции u(x). ; . После нахождения интеграла в обеих частях уравнения получим некоторую функцию u=y(x,C).
Таким образом, решением ДУ Бернулли является функция у=j(х)×y(х,С).
Пример. Решим ДУ .
Решение. Данное ДУ является уравнением Бернулли при , f(х)=1.
Решим данное ДУ методом произведения. Будем искать решение в виде y=u(x)×v(x), где u(x) и v(x) – некоторые пока неизвестные функции. Подставим функцию y=u(x)×v(x) в уравнение : ; сгруппируем второе и третье слагаемые: и найдем функцию v(x) из условия . Разделим переменные: и проинтегрируем обе части, считая постоянную интегрирования равной 0: ; ; . Поп проинтегрируем обе части, считая постоянную интегрирования равной дставим полученную функцию в уравнение ; , найдем функцию u(x). ; ; ; ; . Таким образом, решение ДУ Бернулли будет иметь вид: или .
1.2.5. Уравнения в полных дифференциалах.
Рассмотрим дифференциальное уравнение . ; ; .
Определение. Дифференциальное уравнение вида (8) называют ДУ в полных дифференциалах, если левая часть этого уравнения полностью совпадает с полным дифференциалом некоторой функции F(х,у).
То есть ; .
Теорема. Для того чтобы уравнение было ДУ в полных дифференциалах, необходимо и достаточно, чтобы
при условии что непрерывно дифференцируемы.
Доказательство.
Пусть уравнение является ДУ в полных дифференциалах. Тогда по определению существует такая функция F(x,y) что и .
Найдем . (F(x,y) – непрерывно дифференцируема, непрерывно дифференцируемы ее производные, поэтому смешанная производная второго порядка не зависит от порядка дифференцирования). Таким образом, .
Пусть . Для доказательства того, что уравнение является ДУ в полных дифференциалах, необходимо построить такую функцию F(x,y), чтобы и .
Рассмотрим равенство . Проинтегрируем равенство по х при фиксированном у на интервале от х0 до х: , то есть . Так как интегрирование велось при фиксированном у, то постоянная интегрирования будет зависеть от у. Полученное равенство продифференцируем по у:
; ; , где у0–любое постоянное число.
Таким образом, функция F(x,y), удовлетворяющая требуемым условиям, будет иметь вид: . (9)
Замечание. Если функции определены лишь в некоторой области Д, то значения (х,у) необходимо рассматривать только в этой области. Кроме того, (х0,у0) – произвольны, но выбираются также из этой области Д.
Пример. Решить ДУ (х2+у-4)dx+(x+y+ey)dy=0.
Решение. Проверим, является ли данное ДУ ДУ в полных дифференциалах. В данном ДУ g(x,y)=х2+у-4; h(x,y)= x+y+ey. Проверим, выполняются ли условие теоремы . ; . Условия теоремы выполняются, следовательно ДУ (х2+у-4)dx+(x+y+ey)dy=0 является ДУ в полных дифференциалах.
По доказательству теоремы построим функцию . Пусть х0=0, у0=0, (g(x,y)и h(x,y) определены в точке (0,0))
;
; .