- •Лабораторная работа № 13. Дифференциальные уравнения первого порядка.
- •I. Краткие теоретические сведения.
- •1.1. Понятие дифференциального уравнения.
- •1.2. Дифференциальные уравнения первого порядка.
- •1.2.1. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными.
- •1.2.2. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка.
- •1.2.3. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка.
- •Метод произведения.
- •Метод Лагранжа.
- •Метод произведения.
- •1.2.4. Уравнение Бернулли.
- •1.2.5. Уравнения в полных дифференциалах.
- •II. Примеры решения заданий практической части.
- •Найти общее решение дифференциального уравнения.
- •Найти частное решение дифференциального уравнения .
- •Метод Лагранжа.
- •Метод произведения.
- •III. Задания для практической части.
- •Найти общее решение дифференциального уравнения.
- •Найти частное решение дифференциального уравнения.
1.2.3. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка.
Определение. Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называют уравнение вида: у¢+р(х)у=f(х) (6)
Если f(x)º0, то уравнение (6) называют однородным (ОЛДУ), если f(x)¹0, то уравнение (6) называют неоднородным дифференциальным уравнением первого порядка (НЛДУ).
Методы решения НЛДУ первого порядка.
Метод вариации произвольной постоянной (метод Лагранжа).
Решим уравнение у¢+р(х)у=f(х) в общем виде.
Сначала найдем решение соответствующего ОЛДУ у¢+р(х)у=0. Данное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными.
у¢=-р(х)у; ; . Проинтегрируем обе части: ; ; ; (примем ); .
Будем считать С=С(х) некоторой пока неизвестной функцией от х. тогда решение НЛДУ у¢+р(х)у=f(х) будем искать в виде: .
Так как данная функция является решением, подставим ее в уравнение: ;
;
. Разделим переменные в полученном уравнении и проинтегрируем обе части. ; .
Таким образом, решением ДУ у¢+р(х)у=f(х) является функция
.
Пример. Найти решение ДУ у¢+ху=х. Данное ДУ является НЛДУ первого порядка: р(х)=f(х)=х.
Решение. Решим сначала соответствующее ОЛДУ у¢+ху=0. Разделим переменные: у¢=-ху; ; . Проинтегрируем обе части: ; ; .
Примем С=С(х) и будем искать решение ДУ в виде , считая С(х) некоторой неизвестной функцией. Подставим функцию в ДУ:
; ;
; ; проинтегрируем об части: ; .
Таким образом, решением ДУ у¢+ху=х является функция или .
Метод произведения.
Решение уравнения у¢+р(х)у=f(х) будем искать в виде y=u(x)×v(x), где u(x) и v(x) – некоторые пока неизвестные функции. Подставим функцию y=u(x)×v(x) в уравнение у¢+р(х)у=f(х):
u¢×v +u×v¢+ u×v×р(х)=f(х). Сгруппируем второе и третье слагаемые: u¢×v +u×(v¢+ v×р(х))=f(х).
Функцию v(x) найдем из условия v¢+ v×р(х)=0.
v¢=-v×р(х), разделим переменные: ; проинтегрируем обе части: ; . В данном случае примем С=0 и возьмем знак «+»: .
Подставим полученное выражение в уравнение u¢×v +u×(v¢+ v×р(х))=f(х): .
. Проинтегрируем обе части: .
Таким образом, решением ДУ у¢+р(х)у=f(х) является функция .
Пример. Решим ДУ у¢+ху=х вторым способом и сравним полученные результаты. Решение ДУ будем искать в виде y=u(x)×v(x), где u(x) и v(x) – некоторые пока неизвестные функции. Подставим функцию y=u(x)×v(x) в уравнение у¢+ху=х: u¢×v +u×v¢+ u×v×х=х. Сгруппируем второе и третье слагаемые: u¢×v +u×(v¢+ v×х)=х.
Функцию v(x) найдем из условия v¢+ v×х=0.
v¢=-v×х, разделим переменные: ; проинтегрируем обе части: ; . В данном случае примем С=0 и возьмем знак «+»: .
Подставим полученное выражение в уравнение u¢×v +u×(v¢+ v×х)=х: . .
Проинтегрируем обе части: ;
Таким образом, решением ДУ у¢+ху=х является функция или . Очевидно, полученные результаты при решении ДУ первым и вторым методами совпадают.
Пример. Решим ДУ у¢-у=ех двумя способами.
Решение.
Метод Лагранжа.
Решим соответствующее ОЛДУ у¢-у=0. Разделим переменные ; ; проинтегрируем обе части: ; ; . Будем считать С=С(х) и найдем решение НЛДУ в виде: .
Подставим полученную функцию в уравнение:
; ; ; .
Тогда решением ДУ у¢-у=ех будет функция или .