§ 3.5.Примеры решения задач.

Задача 3.8 Решение.

Единственная сила, действующая на спутник, - сила притяжения Земли, направленная к её центру. Момент этой силы относительно центра Земли равен нулю, поэтому момент импульса спутника и его модуль остаются постоянными. Здесь - радиус-вектор спутника, проведенный из центра Земли; его модуль .

В обеих крайних точках орбиты − (перигей) и (апогей) векторы и взаимно перпендикулярны (см. рис.3.3); следовательно, в этих точках . Применительно к этим точкам, в силу всего вышесказанного, закон сохранения момента импульса принимает вид:

. (*)

Кроме того, в соответствии с условиями задачи, сохраняется механическая энергия спутника , где - масса Земли, G – гравитационная постоянная. Применяя закон сохранения энергии к тем же точкам орбиты (перигею и апогею), получим:

. (**)

Совместное решение системы уравнений (*), (**) относительно V₁ и V₂ имеет вид: .

З адача 3.14 .Решение.

Положение прямоугольника относительно осей координат z и x изображено на рисунке 3.33.

1. Общий момент инерции рамки равен сумме моментов инерции его сторон: , где - момент инерции каждой из сторон, параллельных оси z, - момент инерции каждой из сторон, перпендикулярных оси z.

2. Вычислим (сторона АБ). Поскольку все точки этой стороны отстоят на одинаковом расстоянии от оси z, по определению .

3. Вычислим (сторона БВ). Для этого разобьем эту сторону на бесконечно малые отрезки dx (рис.3.33). Масса такого отрезка , а его вклад в момент инерции .

Величину найдем путем интегрирования этого выражения по всей длине стороны БВ: .

4. Окончательно, .

Подстановка численных значений параметров дает: кг∙м².

Ответ: кг∙м².

Задача 3.29 .Решение.

Выберем оси декартовых координат y и z так, как показано на рисунке 3.34. Прежде, чем приступать непосредственно к решению, необходимо уяснить физический смысл некоторых условий задачи.

1. У словие нерастяжимости нити. Поскольку нить нерастяжима, путь, пройденный грузом против оси y равен пути, пройденному грузом вдоль этой оси за тот же интервал времени t: . Из этого следует, что ускорения грузов одинаковы по величине: .

2. Условие невесомости нити. Рассмотрим участок нити АБ между грузом и блоком (рис.3.34). Уравнение движения этого участка в проекции на ось y с учетом 3-го закона Ньютона имеет вид . Из условия невесомости нити ( ) следует, что . Аналогично доказывается, что .

3. Условие «непроскальзывания» нити. Линейная скорость всех отрезков нити в произвольный момент времени t равна . Линейная скорость точек, принадлежащих ободу блока, выражается через угловое ускорение блока и его радиус R, как . Отсутствие скольжения означает, что в любой момент времени или . Из этого, в свою очередь, следует, что .

Запишем уравнения движения обоих грузов в проекции на ось y , а уравнение движения блока в проекции на ось z:

Oy: ; ;

Oz: .

Учитывая приведенное выше обсуждение условий задачи, а, также, то, что момент инерции цилиндрического блока , полученную систему уравнений можно привести к виду:

; ; . (*)

Решая эту систему относительно искомых величин, получим:

а) м/с²;

б) 12,6 Н; 14,0 Н.

Задача 3.53. Решение.

Выберем начало координат так, чтобы ось z совпала с линией касания цилиндра и плоскости, а направление оси x − с направлением ускорения центра масс цилиндра (вектор на рис.3.35). Условие отсутствия скольжения означает, что скорость именно той образующей цилиндра, которая в данный момент касается плоскости, равна нулю. Поэтому движение цилиндра можно рассматривать, как его вращение вокруг неподвижной оси z. Центр масс цилиндра расположен на расстоянии, равном радиусу R цилиндра. Поэтому угловое ускорение цилиндра . В соответствии с теоремой Штейнера, момент инерции цилиндра относительно оси z: . Моменты силы трения и силы нормальной упругой реакции относительно этой оси, очевидно, равны нулю (см. рис.3.35); момент силы тяжести равен .

В силу всего вышесказанного, уравнения движения цилиндра в проекциях на оси x и z имеют вид:

Ox: ; Oz: .

Совместное решение этой системы уравнений дает:

а) м/с²; б) Н.

Задача 3.59. Решение.

На первый взгляд может показаться, что в результате удара ось вращения волчка отклонится против оси y. Покажем, что это не так. На рисунке 3.36 изображена система «мяч-волчок» в один из моментов столкновения. На мяч действует сила реакции , направленная параллельно оси y; на волчок, в соответствии с 3-м законом Ньютона – сила (на рисунке сила для наглядности перенесена параллельно самой себе, но так, чтобы её момент относительно острия волчка не изменился). Кроме того, на волчок действует сила со стороны поверхности стола, препятствующая его скольжению. Эта сила направлена так же, как сила (рис.3.36). Таким образом, моменты обеих сил ( и ), действующих на волчок при столкновении, по определению перпендикулярны оси y. Поэтому приращение момента импульса волчка и соответствующее отклонение оси вращения, также перпендикулярны этой оси (рис.3.36). Поскольку ускорение центра масс волчка в направлении на ось y отсутствует, в любой момент времени.

1. Столкновение мяча и волчка упругое, причем волчок, как показано выше, не отклоняется в направлении удара; иными словами, мяч отскакивает от поверхности волчка, как от неподвижной упругой стенки. Величина его скорости в результате удара не изменяется, а направление изменяется на противоположное. Обозначим символом время столкновения мяча и волчка. Изменение импульса мяча , где, - средняя сила, действующая на мяч со стороны волчка за это время. В проекции на ось y получаем: .

2. Итак, на волчок в течение всего времени столкновения действует пара сил и , расположенных в плоскости ; каждая из них равна величине силы F, действующей на мяч. Плечо этой пары сил равно l Её момент направлен параллельно оси x и равен .Уравнение динамики для волчка можно записать в виде . В проекции на ось x, применительно к интервалу времени получаем, что приращение момента импульса волчка , или, учитывая пункт 2 данного анализа, Дж∙с.

Поскольку , после соударения с мячом вектор , а вместе с ним и ось вращения волчка отклоняется в направлении оси x на малый угол рад. Этот результат позволяет пренебречь вычислением проекции , отклонением мяча при отскоке от направления на ось y и т.д., как величинами второго порядка малости по (рис.3.36).

Таким образом, с точностью, не худшей, чем , можно считать, что .

Ответ: рад.