14.Основы численных методов. Точные и приближенные значения величин, точные и приближенные числа.

Приближенным числом или приближением называется число, незначительно отличающееся от точного значения величины и заменяющее его в вычислениях. Под погрешностью же принято понимать разность между абсолютным значением и его приближением.

Наличие погрешности обусловлено рядом весьма глубоких причин.

• Математическая модель является лишь приближенным описанием реального процесса. Характеристики процесса, вычисленные в рамках принятой модели, заведомо отличаются от истинных характеристик, причем их погрешность зависит от степени адекватности модели реальному процессу.

• Исходные данные, как правило, содержат погрешности, поскольку они либо получаются в результате экспериментов (измерений), либо являются результатом решения некоторых вспомогательных задач.

• Применяемые для решения задачи методы в большинстве случаев являются приближенными. Найти решение возникающей на практике задачи в виде конечной формулы возможно только в отдельных, очень упрощенных ситуациях.

• При вводе исходных данных в ЭВМ, выполнении арифметических операций и выводе результатов производятся округления.

Классификация погрешностей измерений

По форме представления погрешности разделяются на: абсолютные, относительные и приведённые

По причине возникновения: инструментальные, методические погрешности, субъективные

По характеру проявления: случайная, систематическая, прогрессирующая (дрейфовая),

грубая погрешность (промах)

По способу измерения: погрешность прямых измерений, погрешность косвенных воспроизводимых измерений

Абсолютная погрешность - разность между приближенным значением некоторой величины и ее точным значением

Относительная погрешность — отношение абсолютной погрешности к тому значению, которое принимается за истинное.

Значащими цифрами называются все цифры, кроме нуля, а также и нуль в двух случаях:

• когда нуль стоит между значащими цифрами;

• когда нуль стоит в конце числа, если известно, что единиц соответствующего разряда в данном числе не имеется.

а) 1 кг = 1000 г;

б) население США по одной из переписей составляло 195530000

человек

В первом случае имеем точное соотношение, поэтому все нули здесь – значащие цифры. Во втором случае нули стоят вместо неизвестных цифр, и число имеет только 5 значащих цифр. Для того чтобы избежать недоразумения, никогда не следует писать нули вместо неизвестных цифр, а лучше применять такую форму записи:

19553 ⋅104 или 1,9553 ⋅108

Связь относительной погрешности с количеством верных знаков числа

Если положительное приближенное число имеет относительную погрешность , то количество верных знаков n данного числа можно определить по формуле

и в качестве n взять ближайшее целое к число.

Пр. округления Если абсолютная погрешность начинается с 1 или 2,

например, (136; 2489; 0,01567; 0,00202; 0,1450),

то оставляем две значащие цифры (140; 2500; 0,016; 0,0020; 0,15).

Если абсолютная погрешность начинается с 3 и более,

например, (32; 456; 99; 0,98; 0,0791),

то оставляем одну значащую цифру (30; 500; 100; 1; 0,08).

Основная задача теории погрешностей состоит в оценке погрешности результата вычислений при известных погрешностях исходных данных.

15. Применение дифференциального исчисления при оценке погрешности. Обратная задача теории погрешностей.

Обратная задача теории погрешностей

состоит в том, чтобы определить с какой точностью необходимо задавать значения аргументов функции , чтобы ее погрешность не превосходила заданной величины ? Эта задача математически неопределена, так как заданную погрешность можно обеспечить при любом наборе предельных абсолютных погрешностей аргументов удовлетворяющих условию:

Простейшее решение обратной задачи дает принцип равных влияний, согласно кото- рому вклады всех аргументов в формирование абсолютной погрешности функции равны:

Отсюда

, где

Иногда при решении обратной задачи по принципу равных влияний абсолютные погрешности отдельных аргументов оказываются настолько малыми, что вычислить или измерить эти величины с соответствующей точностью невозможно. В таком случае отступают от принципа равных влияний, чтобы увеличение погрешности одних переменных компенсировать уменьшением погрешности других.

16 Алгоритмизация и программирование. Алгоритм и его свойства.

Алгоритм - это определённая последовательность действий, которые необходимо выполнить, чтобы получить результат. Алгоритм может представлять собой некоторую последовательность вычислений, а может - последовательность действий нематематического характера. Для любого алгоритма справедливы общие закономерности - свойства алгоритма.

Дискретность - это свойство алгоритма, когда алгоритм разбивается на конечное число элементарных действий (шагов).

Понятность - свойство алгоритма, при котором каждое из этих элементарных действий (шагов) являются законченными и понятными.

Детерминированность - свойство, когда каждое действие (операция.указание.шаг.требование) должно пониматься в строго определённом смысле, чтобы не оставалась места произвольному толкованию. чтобы каждый, прочитавший указание, понимал его однозначно.

Массовость - свойство, когда по данному алгоритму должна решаться не одна, а целый класс подобных задач.

Результативность – свойство, при котором любой алгоритм в процессе выполнения должен приводить к определённому результату. Отрицательный результат также является результатом.

Изобразительные средства для описания (представление) алгоритма

Для записи алгоритма решения задачи применяются следующие изобразительные способы их представления:

• Словесно- формульное описание

• Блок-схема (схема графических символов)

• Алгоритмические языки

• Операторные схемы

• Псевдокод

Для записи алгоритма существует общая методика:

Каждый алгоритм должен иметь имя, которое раскрывает его смысл.

Необходимо обозначить начало и конец алгоритма.

Описать входные и выходные данные.

Указать команды, которые позволяют выполнять определенные действия над выделенными данными

Человеку в жизни и практической деятельности приходится решать множество различных задач. Решение каждой из них описывается своим алгоритмом, и разнообразие этих алгоритмов очень велико. Тем не менее можно выделить лишь три основных вида алгоритмов (для краткости далее будем называть их просто: линейные, разветвляющиеся и циклические алгоритмы):

линейной структуры,

разветвляющейся структуры,

циклической структуры.

Линейный алгоритм - алгоритм, в котором порядок действий фиксирован и каждое действие выполняется только один раз. Разветвляющийся алгоритм - алгоритм, порядок действий в котором зависит от некоторых условий. Разнообразие же алгоритмов определяется тем, что любой алгоритм распадается на части, фрагменты и каждый фрагмент представляет собой алгоритм одного из трех указанных видов. Поэтому важно знать структуру каждого из алгоритмов и принципы их составления.