Численные методы
ОБЩИЕ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
Выполнение лабораторного практикума по изучению численных методов предусматривается учебными планами следующих дисциплин: «Информатика и программирование», «Численные методы», «Моделирование систем». Лабораторные работы выполняются с целью приобретения практических навыков и закрепления теоретических знаний по указанным дисциплинам.
Лабораторные работы выполняются на ЭВМ с использованием языка программирования С. Для выполнения работ, учебная группа разбивается на подгруппы по 3-5 человек.
При подготовке к выполнению каждой работы студент должен:
изучить соответствующие разделы литературы, указанной в учебном плане;
ознакомиться с описанием лабораторной работы;
подготовить таблицы для записи результатов.
Проверка подготовки к выполнению очередной лабораторной работы осуществляется преподавателем при личном опросе. Если студент не знает содержания и методики проведения предстоящей лабораторной работы, то он не допускается к ее выполнению.
При выполнении лабораторной работы студент заполняет таблицы экспериментальных данных, производит необходимые расчеты, строит графики и подготавливает отчет о работе. Отчет выполняется по каждой работе отдельно. Студент защищает отчет после выполнения работы.
Лабораторная работа №1
ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ
Цель работы: Приобретение навыков решения уравнений численными методами.
Задача решения уравнения чаще всего встречаются при изучении общетехнических и специальных дисциплин, в инженерной практике. Отыскать точное значение корня уравнения можно лишь в некоторых частных случаях. Кроме того, точное значение корня часто все равно приходится заменить приближенным (например, при решении уравнения ). Поэтому при решении уравнения широко используются методы позволяющие получать приближенное решение с любой заданной степенью точности.
Пусть задано уравнение , где функция определена и непрерывна на некотором отрезке и имеет на нем непрерывную первую и вторую производные и . Корни заданного уравнения являются нулями функции и геометрически представленную собой точки пересечения графика функции с осью (рис. 1).
Решение задачи отыскания действительных корней заданного уравнения состоит из двух этапов:
а) Отделение (изоляция) корня, т.е. отыскание отрезка принадлежащего области определения функции , на котором имеется один и только один корень уравнения .
в) Вычисление или уточнение корня с заданной точностью.
Отделение корня уравнения основано на двух очевидных фактах:
1)На концах отрезка функция имеет разные знаки, т.е. < 0. Очевидно, что при этом внутри отрезка имеется, по крайней мере, один корень уравнения . Однако это условие не гарантирует существования единственного корня.
Например, на рис.1 > 0, < 0 т.е. < 0, а внутри имеется три корня.
2) На отрезке функция монотонна, т.е. ее производная не меняет знака на . Графически это обозначает, что либо возрастающая, либо убывающая.
Отделение корня можно производить аналитически или графически.
Графически корни уравнения можно отделить, построив график функции и приблизительно определив точки его пересечения с осью .
Аналитический метод отделения корня состоит в том, что вначале определяются интервалы монотонности функции , т.е. интервалы в которых (путем решения уравнения ), а затем вычисляют значения на концах этих интервалов и определяют интервал, на концах которого значение имеют разные знаки. В результате может получить так, что искомого интервала не найдется. Это означает, что либо уравнение не имеет корня, либо корни являются границами интервалов монотонности, т.е. точками, в которых (кратные корни).
Собственно говоря, любую точку с интервала, отделяющего корень , можно считать приблизительным значением корня поскольку ясно, что разность между истинным значением корня и его приближенным значением ограничена величиной отрезка , т.е. < . Если требуется более точное определение корня, то необходимо изменить границы интервала таким образом, чтобы новый интервал был меньше исходного и удовлетворял приведенным выше условиям существование корня.
Для получения такого нового интервала используются различные методы последовательных приближений, позволяющие за несколько этапов сжатия исходного отрезка (итераций) получить интервал, длиной которого можно пренебречь.
М е т о д х о р д. Идея метода состоит в том, что на отрезке строится хорда , стягивающая концы дуги графика функции , и в качестве приближенного значения корня выбирается число , являющееся абсциссой точки пересечения хорды с осью (рис. 2).
Для определения числа составим уравнение хорды, как прямой, проходящей через две точки ,
Y
B
a
0
c b X
A
Рис.2
Положив , получим
После преобразований имеем две формулы
, .
Число принимаем за первое приближение к искомому корню и обозначим , . Очевидно, что если не имеет знак на , точка будет находится со стороны вогнутости кривой и разделит на два отрезка и в одном из которых находится искомый корень. Новый отрезок, отделяющий корень, можно определить, сравнивая знаки , , . Из анализа рис. 3, на котором представлены все возможные
Y
Y A
B
a x1 b
0
b X a x1 B X
A
a) б)
Y Y B
A
a
x1 b
a X x1 b X
B A
в) г)
варианты поведения функции , видно, что, если >0 (рис. 3а,в),отрезком, отделяющим корень будет , в противном случае, т.е. при <0 (рис. 3б,г), отрезком, отделяющим корень, будет .
Повторяя такую же процедуру на новом отрезке, определим число
, при >0;
, при <0.
Затем аналогично находим , и т.д. по итерационной формуле
, при >0;
, при >0.
Процесс прекращаем тогда, когда оценка полученного приближения удовлетворяет заданной точности. Для упрощения вычисления обычно задают некоторые, достаточно малое число, и прекращаю вычисления, когда разность между двумя последними приближениями уменьшается меньше т.е. . Число принимают за приближенное значение корня уравнения .
М е т о д к а с а т е л ь н ы х (Ньютона). Суть метода состоит в том, что в одном из концов дуги графика функции проводится касательная к этой дуге и в качестве приближенного значения выбирается число являющееся абсциссой точки пересечения этой касательной с осью (рис. 4).
B
Y
0 c b X
A
Рис. 4.
Как известно, уравнение касательной к кривой в точке имеет вид .
Следовательно, уравнения касательных в точках и имеют вид , .
Положив и определим абсциссу точки пересечения касательной с осью
или .
Точка будет первым приближением к корню, поэтому обозначим ее . Очевидно, что точка будет находиться со стороны выпуклости кривой . Точка разделит отрезок на два отрезка и один из которых содержит корень. Если , это будет отрезок , т.е. касательная проводится к точке , а при получим отрезок , т.е. касательная проводится к точке . Определив новый отрезок, повторим процедуру, причем касательную проведем в точке и получаем новую точку
.
Далее находим второе, третье и последующие приближения по итерационной формуле
.
Процесс прекращается тогда, когда разность между двумя последними приближениями будет меньше заданного числа , т.е. .
М е т о д с е к у щ и х. В методе касательных для нахождения каждого нового приближения корня необходимо вычислять не только значения функции , но и ее производную , что не всегда возможно, поскольку функция не обязательно должна быть задана в виде аналитического выражения. Например, может быть получена в результате решения какого-то дифференциального уравнения, или системы уравнений. Для преодоления этого препятствия можно заменить значения производной в методе касательных отношением конечных разностей в окрестности рассматриваемой точки, т.е. использовать приближенное равенство
,
где h – некоторая малая величина.
Геометрически это означает, что через рассматриваемую точку будет проводиться не касательная, а секущая (рис. 5).
Y
B
0 x* x x+h X
A
Рис. 5.
Поэтому данный метод называется методом секущих. Итерационная формула будет аналогична методу касательных
.
При использовании этого метода следует уменьшать величину по мере приближения к корню.
М е т о д п р о с т ы х и т е р а ц и й . Рассмотрим уравнение . Это уравнение может быть получено из уравнения путем прибавления к обоим членам и заменой , т.е. корень уравнения совпадает с корнем уравнения .
Пусть - отрезок, отделяющий корень , т.е. .Выберем произвольную точку и вычислим значение в этой точке
.
По найденному значению построим вторую точку и т.д. по формуле
.
Если полученная таким образом последовательность сходится, то она сходится к корню , т.е. и за конечное число итераций можно получить приближенное значение корня с заданной точностью , т.е. . Однако описанный итерационный процесс не всегда сходится.
Рассмотрим геометрический смысл процесса и его сходимость. Корень уравнения , это точка пересечения прямой и графика функции (рис. 6). Абсцисса получена пересечением прямых и . Абсцисса получается пересечением прямых и и т.д.
Y
Y
0 x1 x2 x0 X 0 x1 x0 x2 X
а) б)
Рис. 6
На рис. 6а видно, что последовательность сходится к , а на рис. 6б – расходится. Сходимость процесса зависит от угла наклона линии , т.е. от значения . Если , , то процесс сходится, при , процесс расходится и при , процесс может как сходиться, так и расходиться.
ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ
Ознакомиться с методами приближенного вычисления корней уравнений.
В соответствии с вариантом разработать программу на языке С.
С помощью дополнительных программ отделить наименьший по модулю корень заданного уравнения. Вариант задания выбрать из табл. 1.
Вычислить с помощью программы значение отдельного корня четырьмя различными методами. При использовании метода простых итераций найти решение при разных начальных приближениях. Результаты вычислений занести в табл.2.
Таблица 1
№ |
Вид функции |
№ |
Вид функции |
1 |
|
11 |
|
2 |
|
12 |
|
3 |
|
13 |
|
4 |
|
14 |
|
5 |
|
15 |
|
6 |
|
16 |
|
7 |
|
17 |
|
8 |
|
18 |
|
9 |
|
19 |
|
10 |
|
20 |
|
Таблица 2
1 |
Метод 1 |
Метод 2 |
Метод 3 |
Метод 4 |
Метод 5 |
|||||
xi |
yi |
xi |
yi |
xi |
yi |
xi |
yi |
xi |
yi |
|
1 2 . . . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ОТЧЕТ О РАБОТЕ
Отчет должен содержать:
График исследуемой функции с интервалами отделения корней.
Таблицы пошаговых расчета корня уравнения.
Обоснованное заключение о преимуществах и недостатках использования исследованных методов решения применительно к заданному уравнению.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
Как и зачем выполняется отделение корня?
Каково условие сходимости метода хорд?
Чем отличаются итерационные методы хорд и секущих?
Какие методы предпочтительнее воспользоваться для решения уравнений , ?
В чем заключается условие сходимости метода простых итераций?
В чем отличие методов касательной и секущей, и что у них общего?
ЛИТЕРАТУРА [1, c. 451-473]; [3, c. 112-157]; [5, c. 170-210]; [6, c. 86-116].