3. Решение уравнения пуассона для области объемного заряда p-n перехода

Известно, что уравнение Пуассона связывает распределение потенциала с плотностью заряда, т.е. описывает потенциальные поля. Определить зависимость ширины ООЗ p-n перехода от приложенного напряжения можно, решая уравнение Пуассона, которое записывается для одномерного случая как [4]:

d²  / d x² = , (3.1)

Это дифференциальное уравнение второго прядка, которое может быть решено способом разделения переменных. Учитывая, что правая часть уравнения изменяется только при переходе из p – области в n– область ( при x=0), интегрирование можно разбить на два интервала: x  0 и x  0, т.е. получим два уравнения с постоянными правыми частями.

d ² ₁ / d x² = - , (3.2)

d ² ₂ / d x² = - , (3.3)

где ₁ и ₁ – потенциал и плотность объемного заряда для p – области, т.е. для x  0; ₂ и ₂ – потенциал и плотность объемного заряда для n – области, т.е. для x  0.

Для -x_p < x  0 ₁ = - q  N_a, а для x_n >x  0 ₂ =q  N_d , (3.4)

Для решения этих уравнений необходимы по два граничных условия, которыми для первого интегрирования являются

E ₁(-x_p) = - d ₁ / d x = 0 и E ₂(x_n) = - d ₂ / d x = 0, (3.5)

где E ₁ (-x_p) и E ₂(x_n) – напряженности электрического поля на границах ООЗ в p – области и n – области, соответственно.

Для второго интегрирования граничные условия:

₁ (-x_p) = 0 и ₂ (x_n) = _к , (3.6)

Кроме того, для “сшивания решений” двух уравнений необходимы еще два условия

E ₁(0) = E ₂ (0) и ₁ (0) = ₂ (0). (3.7)

Решение проводится путем последовательного интегрирования. Уравнения (3.2) и (3.3) можно преобразовать с учетом (3.5)

d E ₁ / d x =- d² ₁ / d x² = ,

d E ₂ / d x =- d ² ₂ / d x² = . (3.8)

Разделим переменные с учетом граничных условий (3.5), тогда

E ₁(x) x_n

 d E ₁ =  d x ,

0 0

E ₂(x) - x_p

 d E ₂ =  d x . (3.9)

0 0

Решая (3.9), определим зависимость напряженности электрического поля от x

E ₁(x) =  (x + x_p),

E ₂(x) =  (x – x_n) (3.10)

Анализ решений (3.10) показывает, что на границах ООЗ электрическое поле равно нулю (при x= -x_p и x= x_n). При этом, с изменением координаты от x= -x_p до x=x_n сначала напряженность электрического поля увеличивается линейно до x=0, а затем линейно уменьшается до нуля. Во всем диапазоне ООЗ напряженность электрического поля отрицательна. Таким образом, зависимость напряженности электрического поля от расстояния повторяет зависимость, показанную на рис. 2.4 г. Воспользовавшись (3.8), из (3.10) получим

d ₁ =  (x + x_p)  d x ,

(3.11)

d ₂ = -  (x - x_n )  d x .

C учетом граничных условий (3.7) из (3.11) последует

₁(x) x

d ₁ = -   (x_p + x)  d x,

0 -x_p

(3.12)

₂(x) x

 d ₂ = -   (x – x_n )  d x. _k x_n

Решая (3.12), выводим зависимость потенциала электрического поля от координаты

₁(x) = -  (x + x_p)²,

(3.13)

₂(x) -_k = -  (x – x_n )²

или

₂(x) = _k -  (x – x_n)².

В результате второго интегрирования получаем параболическую зависимость (x). При этом выполняются граничные условия.

Для “сшивания” решений (3.10) воспользуемся первым условием (3.7).

₁x_p = - ₂x_n

или

qN_ax_p = qN_d x_{n ,} (3.14)

x_p / x_n = N_d / N_a (3.15)

Из (3.14) следует, что величины заряда по обе стороны контакта одинаковы и ширина ООЗ в соответствующей области обратно пропорциональна концентрации примеси. Используем свойство дробей: если к числителям прибавить знаменатели или к знаменателям прибавить числители, то равенство не изменится. Т.е. если

g / b = c / e , то (g+b) / b = (c+e) / e или g / (g+b) = c / (c+e),

где g, b, c, e – произвольные числа.

Тогда получим из (3.15) значения ширины ООЗ в соответствующих областях полупроводника

x_n = d  N_a / (N_d +N_a),

x_p = d  N_d / (N_d +N_a), (3.16)

где d = x_n +x_p –ширина ООЗ.

Используя второе условие (3.7), из (3.13) найдем

₁(0) = -  x_p²,

·

₂(0) = _k -  x_n² , (3.17)

 x_p² = _k -  x_n²

или

· x_p² = _k – · x_n² (3.18)

Подставляя x_p и x_n из (3.16) в (3.18), определим

d = (3.19)

Для резкого несимметричного p⁺n – перехода, т.е. при N_aN_d , в уравнении (3.19) в сумме можно пренебречь N_d , и, тогда, сокращая на N_a, можно упростить (3.19)

d = (3.20)

Последнее уравнение означает, что в резком несимметричном p-n переходе только концентрация слаболегированной области определяет ширину ООЗ, и почти вся ООЗ лежит в слое с малой концентрацией примеси.

а) – распределение плотности объемного заряда (  ) в p-n переходе; б) – распределение электрического поля (E); в) – распределение потенциала (  ); г) – зонная диаграмма p-n перехода;

Рис. 3.1, Схема ООЗ плавного p-n перехода.

Для случая плавного p-n перехода необходимо решить уравнение Пуассона (3.1) с учетом того, что плотность объемного заряда определяется как показано на рис. 3.1а.

 =q  N = q   x (3.21)

В результате решения выражение для напряженности электрического поля в плавном p-n переходе примет вид

E (x) =   [x² - (d /2)²] (3.22)

Зависимость напряженности электрического поля от координаты имеет вид квадратичной параболы. Качественно вид зависимости E (x) изображен на рис. 3.1б. Распределение электрического поля для плавного p-n перехода более однородно, чем для ступенчатого, поэтому при одинаковой ширине ООЗ плавные p-n переходы имеют более высокое пробивное напряжение. Электрическое поле, изменение потенциала и энергетических зон из-за неоднородного легирования полупроводника за пределами ООЗ условно не показаны. Это связано с тем, что эти изменения по сравнению с изменениями в ООЗ несущественны. Распределение потенциала электрического поля получаем в результате второго интегрирования уравнения Пуассона от – x_p до x

(x) = - q   [x³/3 - (d /2)²  x + d ³/24 - d ³/8]/(2  _п  ₀) . (3.23)

Учитывая, что ООЗ в плавном p-n переходе расположена симметрично относительно x = 0, можно полагать x_n = d /2. Подставляя x=x_n и (x) = _к в (3.23), найдем выражение для ширины ООЗ плавного p-n перехода

d = ( )^1/3 . (3.24)

Распределение потенциала и энергетические зоны плавного p-n перехода представлены на рис. 3.1 в и рис. 3.1 г, соответственно.