- •Системы счисления
- •Перевод целого десятичного числа в произвольную р-ичную систему счисления
- •Перевод дробного десятичного числа в произвольную р-ичную систему счисления
- •Перевод р-ичного числа в десятичную систему счисления
- •Преобразование между двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной системами счисления
- •Смешанные системы счисления
Системы счисления
Система счисления – способ представления чисел, опирающийся на некоторое конечное число знаков, называемых цифрами.
Происхождение наиболее употребительной десятичной системы связано с пальцевым счетом. В России до XVIII в. существовала десятичная система счисления, основанная на буквах алфавита , , и т.д. Начертание этих цифр произошло от греческих букв , , и др. Современная десятичная система основана на десяти цифрах, начертание которых сформировалось в Индии к V в. и пришло в Европу с арабскими рукописями, в связи с чем цифры получили название «арабские». В некоторых странах применяли и другие системы счисления, например, в Китае – пятеричную. Существовавшая в Древнем Вавилоне шестидесятеричная система сохранилась в наши дни в делении часа и градуса угла на 60 минут и минут на 60 секунд. Древние евреи использовали как десятичную, так и двенадцатеричную системы счисления.
В зависимости от способа изображения чисел системы счисления делятся на позиционные и непозиционные. Каждая цифра в числе, записанном в позиционной системе счисления, несет двойную информационную нагрузку:
количество;
разряд, т.е. позицию, на которой цифра находится в числе.
Например, в десятичном числе 7 313 цифра 3 (та, что левее) означает, что:
она находится во втором разряде (отсчет разрядов ведется справа, начиная с нуля), т.е. соответствует разряду сотен;
количество этих сотен равно 3.
В любой позиционной системе счисления любое число x может быть представлено в следующем виде:
. (1)
Здесь – количество цифр, используемых для записи чисел в данной системе счисления (основание системы счисления);
– числовые коэффициенты, причем положительные значения индексов соответствуют цифрам в целой части числа, а отрицательные – в дробной.
Пример. Десятичное число 7 313, 49 в виде (1) представляется следующим образом:
7 313, 4910 = 7 · 103 + 3 · 102 + 1 · 101 + 3 · 100 + 4 · 10-1 + 9 · 10-2.
Тогда коэффициенты его разложения будут равны
a3 = 7, a2 = 3, a1 = 1, a0 = 3, a-1 = 4, a-2 = 9.
Приведем некоторые примеры позиционных систем счисления.
Таблица 1
Система счисления |
Основание |
Цифры |
Двоичная |
2 |
0, 1 |
Восьмеричная |
8 |
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 |
Десятичная |
10 |
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 |
Шестнадцатеричная |
16 |
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F |
Общепринятая десятичная система счисления оказывается неудобной для технической реализации, поскольку необходимо различные цифры кодировать десятью различными способами. Поэтому для внутреннего представления чисел в компьютере используется двоичная система счисления – в виде сигналов низкого (0) или высокого (1) уровней. Представление чисел в десятичной системе счисления проводится только на этапе получения информации от пользователя и на этапе выдачи результата.
Установим соответствие между записями чисел в системах счисления, представленных в табл. 1.
Таблица 2
Десятичное число |
Двоичное число |
Восьмеричное число |
Шестнадцатеричное число |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
2 |
10 |
2 |
2 |
3 |
11 |
3 |
3 |
4 |
100 |
4 |
4 |
5 |
101 |
5 |
5 |
6 |
110 |
6 |
6 |
7 |
111 |
7 |
7 |
8 |
1000 |
10 |
8 |
9 |
1001 |
11 |
9 |
10 |
1010 |
12 |
A |
11 |
1011 |
13 |
B |
12 |
1100 |
14 |
C |
13 |
1101 |
15 |
D |
14 |
1110 |
16 |
E |
15 |
1111 |
17 |
F |
16 |
10000 |
20 |
10 |
Несмотря на удобство технической реализации, двоичная система обладает существенным недостатком – громоздкостью записи чисел. Поэтому для сокращения записи используется восьмеричная или шестнадцатеричная форма записи двоичного числа.
Кроме позиционных систем счисления существуют системы, в которых значение цифры не зависит от той позиции, которую она занимает в числе. Такие системы счисления называются непозиционными. Наиболее известным примером непозиционной системы счисления является римская система. В этой системе используется 7 знаков (I, V, X, L, С, D, М), которые соответствуют следующим величинам:
I (1), V (5), X (10), L (50), С (100), D (500), М (1000).
Например, десятичное число 7 313 в римской системе счисления запишется следующим образом:
MMMMMMMCCCXIII.
Недостатком непозиционных систем счисления является отсутствие формальных правил записи чисел и, соответственно, арифметических действий над ними. Поэтому римские числа используются лишь при нумерации (глав в книгах, веков в истории и др.).
При работе с компьютерами приходится параллельно использовать несколько позиционных систем счисления, поэтому большое практическое значение имеют процедуры перевода чисел из одной системы счисления в другую.