- •1.1. Определение операторной функции arc-фильтра.
- •1.3. Рассчитать и построить амплитудный и фазный спектры сигнала воздействия.
- •1.Суммирование функций и построение графика суммы.
- •1.7. Рассчитаем и построим графики амплитудного и фазного спектров воздействия и реакции, а также временные функции воздействия и реакции с периодом в два раза меньше.
- •2.1 Определение переходной и импульсной функции фильтра:
- •Переходная характеристика цепи
- •Импульсная характеристика цепи
- •2.2. Рассчитаем и построим графики реакции цепи на ступенчатое воздействие.
- •2.3. Рассчитаем и построим графики реакции цепи на импульсное воздействие.
- •2.4. Найдем реакцию цепи на непериодический прямоугольный импульс амплитудой u, и длительностью tи с помощью переходной и импульсной функции фильтра. Построим график реакции.
1.1. Определение операторной функции arc-фильтра.
Операторная функция фильтра второго порядка имеет следующий вид:
==(1)
где - является резонансной частотой,
- нормированный по резонансной частоте операторs имеет тот же смысл что и оператор Лапласа p
Q –добротность фильтра (2)
Из формулы (1) следует, что фильтры второго порядка определяются четырьмя независимыми коэффициентами:
Добротность Q (определяет основные характеристики фильтра);
B0, B1, B2 – соответственно при нулевой, первой, второй степени s числителя, определяющим тип фильтра, а так же его частотные и временные свойства:
,
, (3)
Тип фильтра определяется исключительно коэффициентами числителя, что
отображено в таблице 1.
№ п/п |
Тип фильтра |
Коэффициенты Bk
| ||
B0 |
B1 |
B2 | ||
1
2
3
4
5
6 |
ФНЧ
Полосовой Фильтр (ПФ)
ФВЧ
Заграждающий фильтр (ЗФ)
Фазовый корректор**
Амплитудный корректор** |
B00
B0 = 0
B0 = 0
B00
B0 = k
B0 = 1
|
B1 = 0
B1 0
B1 = 0
B1 = 0
|
B2 =0
B2 =0
B2 0
B2 0
B2 =k
B2 =0
|
Схема, для которой будет производиться расчет, представлена на Рис.1
Рис.1 Принципиальная схема ARC - фильтра второго порядка.
Преобразуем данную схему в эквивалентную операторную:
Рис.2 Эквивалентная операторная схема замещения фильтра второго порядка.
Примем за входной зажим узел 1, выходной узел 2 , а за базовый узел 4, потенциал которого равен нулю. В данной схеме операционный усилитель включен по схеме повторителя, с коэффициентом усиления .Отсюда напряжение на входеU4(p) , будет определяться выражением
с учётом направления напряжений на эквивалентной схеме. Применим метод узловых потенциалов и запишем уравнения для узлов 3 и 4:
Для схемы замещения Рис.2 справедливо равенство выходного и напряжения ИНУН, т.е. . С учётом того, что приk=подставим данное выражение в систему уравнений и получим:
Тогда первое уравнение системы принимает вид:
Откуда получается операторный коэффициент передачи по напряжению:
(5)
Обычно операторную функцию цепи представляют в канонической форме, когда коэффициент при старшей степени переменной P в знаменателе равен 1. Для этого числитель и знаменатель делится на коэффициент при старшей степениP в знаменателе. В результате чего получается:
(5’)
что соответствует выражению (1)
=(1)
Сравнивая выражения (1) и (5’) получаем:
,
,
, (6)
,
.
Таким образом, операторная функция фильтра имеет вид:
(7)
где добротность фильтра равна:
(8)
Зная коэффициенты ,,можно определить тип данного фильтра с помощью таблицы 1, из нее видно, что данный фильтр фильтром высоких частот (ФВЧ).
1.2. Рассчитать резонансную частоту fp и добротность Q цепи. Аналитически исследовать частотные характеристики полученного ARC-фильтра, определив частоты среза и полосы пропускания и задерживания. Построить графики АЧХ и ФЧХ.
,
,
,
Q=1,39,
,(9)
Комплексная функция вида
получается заменой переменой P на jω в функции (9). Она определяет частотные свойства фильтра.
Амплитудные и фазочастотные характеристики
Заменив в формуле (1) переменную s на (илиP на jω), получим АЧХ и ФЧХ любых фильтров второго порядка:
АЧХ:
, (10)
ФЧХ: (11)
-,-
В АЧХ И ФЧХ аргументом является “нормированная” по ωр частота или частота, выраженная в относительных единицах: . В дальнейшем, если не оговорено обратное, будем использовать относительную частоту, и будем обозначать её без нижних индексов о.е. то есть просто ω.
В пункте 1.1. было получено, что для исследуемого фильтра ,b2=0,08, подставляя в выражение (10) и (11) получаем АЧХ И ФЧХ данного фильтра:
,
Полученные АЧХ И ФЧХ соответствуют фильтру ВЧ.
Для построения графиков АЧХ и ФЧХ воспользуемся компьютерной программой MathCAD.
Рис.3. АЧХ
Для фильтра ВЧ экстремальное значение частоты m рассчитывается по формуле:
При этом максимальные значения коэффициента передачи равно:
Полоса пропускания определяется значением АЧХ на уровне от наибольшего значения:
Частота, соответствующие значению K1 АЧХ, и будет частотой среза ср эту частоту можно найти графически, либо решая уравнения ( ) относительно при K=Ku max:
ср=365,11 рад/с
Таким образом, полоса пропускания фильтра:
ср<<, 1432,6 рад/с <<
А полоса задерживание соответственно будет определятся частотами:
<ср 1432,6 рад/с
Учитывая все вышесказанное, покажем на графике полосы пропускания и задерживания:
Теперь построим график ФЧХ, с помощью Mathcad:
Рис. 4 ФЧХ
Примечание: по оси Yотложена фаза, измеряемая в радианах.