2. Мета та завдання навчальної дисципліни

Мета навчальної дисципліни — ознайомити студентів із структурою та логічними основами сучасної математики, показати їх роль у житті сучасного суспільства, забезпечити належну базову математичну підготовку студентів та сформувати у них вміння застосовувати математичні методи та інформаційні технології для аналізу результатів психологічних досліджень.

Завдання навчальної дисципліни — вивчення основ теорії множин, алгебри, математичного і функціонального аналізу, теорії ймовірностей і математичної статистики, методів обробки статистичної інформації, отриманої в результаті психологічних досліджень, вироблення навиків використання обчислювальних систем для вирішення цих завдань.

В результаті вивчення даного курсу студент повинен знати:

• означення та властивості основних понять теорії множин, алгебри, аналітичної геометрії, математичного і функціонального аналізу, теорії ймовірностей і математичної статистики;

• типові методи обробки статистичної інформації, отриманої в результаті психологічних досліджень;

• програмні засоби розв’язування математичних задач та обробки статистичної інформації.

вміти:

• формулювати основні математичні означення і теореми;

• за допомогою обчислювальних систем розв’язувати математичні задачі;

• використовувати програмне забезпечення для обробки статистичної інформації, отриманої в результаті психологічних досліджень.

3. Програма навчальної дисципліни

Змістовий модуль 1. Матриці, визначники, системи лінійних алгебричних рівнянь.

Тема 1. Предмет математики.

Математика як універсальна мова і метод науки. Математичні моделі. Логічна символіка. Операції над предикатами та їх властивості. Квантовані предикати. Множина. Підмножина. Операції над множинами (перетин, об’єднання, різниця, доповнення) та їх властивості. Декартів добуток множин. Числові множини. Поняття бінарного відношення. Властивості відношень. Відношення еквівалентності і порядку. Теорема про розбиття на класи.

Тема 2. Матриці і дії з ними. Визначники.

Матриці. Додавання матриць і множення матриці на скаляр. Транспонування матриці. Множення матриць. Властивості операцій над матрицями. Квадратні матриці. Дії з матрицями у системі Maple. Поняття визначника. Властивості визначників. Обчислення визначників. Обернена матриця. Знаходження оберненої матриці в Maple.

Тема 3. Системи лінійних алгебричних рівнянь.

Однорідні і неоднорідні СЛАР. Структура розв’язку СЛАР. Методи розв’язування СЛАР (метод Гауса, метод оберненої матриці, правило Крамера). Сумісність системи, теорема Кронеккера-Капелі. Розв’язування СЛАР у Maple.

Тема 4. Лінійний простір.

Поняття п-вимірного векторного простору. Лінійні операції над векторами. Лінійна незалежність векторів. База простору. Матриця як лінійний оператор. Власні значення і власні вектори матриці. Знаходження власних векторів і власних значень у Maple.

Змістовий модуль 2. Числові функції одної змінної.

Тема 5. Границя функції і неперервність.

Поняття послідовності. Збіжні та розбіжні послідовності. Нескінченно малі послідовності. Властивості збіжних послідовностей. Обчислення границь послідовностей у Maple. Обмежені послідовності. Число е. Формула Ейлера. Означення числового ряду, збіжності, суми ряду. Необхідна умова збіжності ряду. Ознаки збіжності рядів.

Означення границі функції. Властивості границь функції. Обчислення границь функцій у Maple. Неперервність функції. Обмеженість неперервної функції.

Тема 6. Похідна функції.

Задача про знаходження швидкості руху. Означення похідної. Дотична до кривої та геометричний зміст похідної. Похідні основних елементарних функцій. Похідна складеної функції. Основні теореми диференціального числення. Застосування похідної до дослідження функції. Поняття про функцію багатьох змінних.

Тема 7. Первісна та невизначений інтеграл.

Означення первісної функції та невизначеного інтеграла. Основні властивості невизначеного інтеграла. Таблиця інтегралів елементарних функцій. Найпростіші методи інтегрування.

Тема 8. Визначений інтеграл.

Задача про площу криволінійної трапеції. Означення визначеного інтеграла. Умови існування визначеного інтеграла та його основні властивості. Формула Ньютона - Лейбніца. Обчислення інтеграла у Maple. Застосування визначеного інтеграла.

Змістовий модуль 3. Елементи теорії ймовірностей

Тема 9. Імовірність події.

Випадкової події. Алгебра подій. Імовірнісний простір та ймовірність події. Умовна ймовірність. Теореми додавання та множення ймовірностей. Формула повної ймовірності. Формули Байєса. Схема Бернулі.

Тема 10. Випадкові величини.

Поняття випадкової величини. Дискретні та неперервні випадкові величини. Закони розподілів випадкових величин. Функція розподілу випадкової величини. Щільність розподілу неперервної випадкової величини. Числові характеристики випадкових величин.

Тема 11. Деякі розподіли випадкових величин.

Розподіл Бернуллі. Біномний розподіл. Розподіл Пуассона. Рівномірний розподіл. Нормальний розподіл і його властивості. Правило трьох сигма. Розподіли Пірсона, Стьюдента, Фішера-Снедекора.

Тема 12. Закони великих чисел.

Нерівність Чебишова. Теорема Чебишова. Закон Бернулі і статистична імовірність. Центральна гранична теорема.

Змістовий модуль 4. Елементи математичної статистики

Тема 13. Статистичні оцінки розподілів випадкових величин.

Вибірковий метод та його суть. Дискретний та інтервальний варіаційні ряди. Емпіричний розподіл за вибіркою. Статистичні оцінки параметрів розподілу.

Тема 14. Статистичні гіпотези та їх перевірка.

Статистичні гіпотези та статистичні критерії. Параметричні і непараметричні критерії. Критична область. Похибки першого і другого роду.

Змістовий модуль 5. Порівняння рівнів досліджуваної ознаки у групах.

Тема 15. Непараметричні критерії порівняння рівнів досліджуваної ознаки.

Критерій Розенбаума. Критерій Манна-Уітні. Критерій Краскела-Уоллеса.

Тема 16. Параметричні критерії порівняння рівнів досліджуваної ознаки.

Критерій Стьюдента. Критерій Фішера порівняння дисперсій. Випадки однакових та різних дисперсій.

Змістовий модуль 6. Дослідження динаміки статистичних показників.

Тема 17. Непараметричні критерії відстеження динаміки показників.

Критерій знаків. Критерій Вілкоксона. Критерій Пейджа.

Тема 18. Параметричні критерії відстеження динаміки показників.

Парний тест Стьюдента.

Змістовий модуль 7. Дослідження впливу чинника на ознаку.

Тема 19. Непараметричні критерії перевірки впливу чинника на ознаку.

Медіанний тест. Критерій Джонкхієра.

Тема 20. Однофакторний дисперсійний аналіз.

Внутрігрупова та між групова дисперсії та їх порівняння. Тест Шеффе порівняння середніх у групах, що відповідають різним показникам змушувального чинника.

Змістовий модуль 8. Дослідження взаємозв’язків чинників.

Тема 21. Непараметричні методи дослідження взаємозв’язків чинників.

Статистики хі-квадрат та Крамера. Рангові кореляції між ознаками.

Тема 22. Лінійна кореляція.

Оцінка коефіцієнта лінійної кореляції за Пірсоном. Значущість коефіцієнта лінійної кореляції і об’єм вибірки. Відмінність двох коефіцієнтів кореляції.

Тема 23. Кореляційний аналіз.

Матриця парних кореляцій. Кореляційні графи і кореляційні плеяди.