37.Приклади: асиметрія показникового розподілу; асиметрія розподілу Пуассона.

Асиметрія m₃ - центральний епмпіричний момент третього порядка. Використовується для оцінки відхилення емпіричного розподілу від нормального .

Показниковий розподіл — абсолютно неперервний розподіл, що моделює час між двома послідовними завершеннями однієї і тієї ж події.

Показниковий розподіл з параметром λ >0

Показниковий розподіл часто називають експоненційним.

Розподіл Пуассона

Описує ймовірність появи малоймовірних подій при великій кількості спостережень (незалежних спроб)

Pm=λ^m⋅ e^−λ/m!

Λ- середнє число появи події А в n спостереженнях λ=n⋅p

• m – частота появи події А (ціле число)

• n – кількість незалежних спостережень, n>100

• р- ймовірність появи події в одній спробі, р<10%

• Теоретичні частоти f_t= n ⋅ P_m

Асиметрія : А=1/корінь з λ

38.Теорема Чебишова.

Постулат Бертрана, теорема Бертрана - Чебишева або теорема Чебишова свідчить, що

Для будь-якого натурального n ≥ 2 знайдеться просте число p в інтервалі n <p <2n.

Така гіпотеза була висунута в 1845 році французьким математиком Бертраном (перевірила її до n = 3000000) і доведена в 1850 Чебишевим. Рамануджана в 1920 році знайшов більш просте доказ, а Ердеш в 1932 - ще більш просте.

Схожа, але недоведена гіпотеза Лежандра свідчить, що для будь-якого n ≥ 2 знайдеться просте число p в інтервалі n2 <p <(n +1) 2.

Теорема Чебишева свідчить, що при необмеженому збільшенні числа незалежних випробувань середнє арифметичне значення випадкової величини, яка має кінцеву дисперсію, збігається за ймовірніст’ю до її математичного очікування.

39.Теорема Бернуллі

Необходимо вычислить вероятность того, что в n испытаниях событие произойдет ровно k раз.

Если в каждом из n независимых испытаний вероятность p появления события A постоянна, то как угодно близка к единице вероятность того, что отклонение относительной частоты от вероятности p по абсолютной величине будет сколь угодно малым, если число испытаний достаточно велико:

Теорема Бернуллі стверджує: якщо т - кількість подій А в п попарно незалежних випробуваннях, а р є ймовірність настання події А в кожнім з випробувань, то при будь-якому є>0 справедлива нерівність

Ця формула є першим в історії варіантом закону великих чисел і по суті вважається початком теорії ймовірностей як галузі математичної науки. Відтоді теорії вибіркового методу стають основою математичної статистики.

Теорема Бернуллі дає можливість оцінити кількості незалежних випробувань п при певних умовах їх проведення.

40. Центральна гранична теорема.

Центра́льные преде́льные теоре́мы (Ц.П.Т.) — класс теорем в теории вероятностей, утверждающих, что сумма достаточно большого количества слабо зависимых случайных величин, имеющих примерно одинаковые масштабы (ни одно из слагаемых не доминирует, не вносит в сумму определяющего вклада), имеет распределение, близкое к нормальному.

Так как многие случайные величины в приложениях формируются под влиянием нескольких слабо зависимых случайных факторов, их распределение считают нормальным. При этом должно соблюдаться условие, что ни один из факторов не является доминирующим. Центральные предельные теоремы в этих случаях обосновывают применение нормального распределения.