- •1. Предмет комбінаторики. Правила суми і добутку. Перестановки без повторення . Перестановки з повтореннями.
- •2.Розміщення без повторення. Розміщення з повтореннями.
- •5. Трикутник Паскаля, біном Ньютона. Число всіх підмножин множини.
- •6.Комбінації з повтореннями.
- •7. Формули включень та виключень; вміти записати для 2 і 3.
- •8.Простір елементарних подій. Операції над подіями. Класичне означення ймовірності. Статистичне означення ймовірності.
- •9.Теорема додавання ймовірностей для несумісних подій. Теорема додавання ймовірностей для сумісних подій.
- •10.Залежні та незалежні події, умовна ймовірність.
- •Умовна ймовірність та її властивість
- •11.Теорема множення для двох випадкових подій. Теорема множення для довільних випадкових подій.
- •12.Попарно залежні та незалежні у сукупності події. Приклад Бернштейна.
- •13.Геометричні ймовірності. Задача про зустріч. Задача Бюффона.
- •14. Ймовірність появи хоча б однієї випадкової події. Задача про товсту монету.
- •15.Формула повної ймовірності. Формула Бейеса.
- •1.Формула повної ймовірності
- •36. Початкові та центральні моменти. Асиметрія та ексцес.
- •37.Приклади: асиметрія показникового розподілу; асиметрія розподілу Пуассона.
- •Розподіл Пуассона
- •38.Теорема Чебишова.
- •39.Теорема Бернуллі
- •40. Центральна гранична теорема.
- •Классическая формулировка ц.П.Т.
- •41. Випадковий процес та його характеристики.
- •42.**Ланцюгі Маркова
- •Формальне визначення Послідовність дискретних випадкових величин називається ланцюгом Маркова (з дискретним часом), якщо
- •43.**Марківський випадковий процес. Потоки подій. Поток случайных событий
- •Марковский процесс
- •Марковский процесс с дискретным временем:
- •**Пуассонівський випадковий процес.
- •45. Поняття про генеральну сукупність та вибірку. Емпірична формула розподілу.
- •46. Вибіркові характеристики. Варіаційний ряд, таблиці частот, гістограма.
- •47.Полігон частот. Статистичне та інтервальне оцінювання параметрів розподілу.
- •48. Вибіркове середнє, вибіркова дисперсія. Інтервальні оцінки параметрів розподілу.
- •49.Надійні межі для математичного сподівання у випадку нормального розподілу.
- •50.Статистична гіпотеза та загальна схема її перевірки. Критерій Пірсона.
5. Трикутник Паскаля, біном Ньютона. Число всіх підмножин множини.
Трикутник Паскаля - нескінченна таблиця біноміальних коефіцієнтів, що має трикутну форму. У цьому трикутнику на вершині і з боків стоять одиниці. Кожне число дорівнює сумі двох розташованих над ним чисел. Рядки трикутника симетричні щодо вертикальної осі. Названий на честь Блеза Паскаля. Має застосування в теорії ймовірностей.
Властивості : Числа трикутника симетричні (рівні) щодо вертикальної осі.
У рядку з номером n:
перше і останнє числа рівні 1.
друге і передостаннє числа дорівнюють n.
третє число одно трикутникове числу, що також дорівнює сумі номерів попередніх рядків [3].
четверте число є тетраедричних [3].
m-е число дорівнює біноміальним коефіцієнту.
Кожне число в трикутнику дорівнює кількості способів дістатися до нього з вершини, переміщаючись або вправо-вниз, або вліво-вниз
Біном Ньютона - формула для розкладання на окремі складові цілої неотрицательной ступеня суми двох змінних, що має вигляд ,
де - біноміальні коефіцієнти, - невід'ємне ціле число.
В такому вигляді ця формула була відома ще індійським та ісламським математикам; Ньютон вивів формулу бінома для більш загального випадку, коли показник ступеня - довільне раціональне число (можливо, негативне). В цьому випадку біном являє собою нескінченний ряд.
- одне з тотожностей біноміальних коефіцієнтів
Число підмножин
Якщо кінцева множина складається з N елементів, то воно має рівно 2^N підмножин.
Нехай – множина M з N елементів. ЇЇ підмножини можуть складатися з нуля, одного, двох, трьох, ..., N елементів, причому різних підмножин з елементів рівно (біноміальний коефіцієнт - число сполучень із N по K). Отже, всього підмножин буде
6.Комбінації з повтореннями.
Нехай дано два натуральних числа n і k, k ≤ n. Нехай також у нас є набір предметів n різних сортів. Елементи одного сорту вважаються однаковими, причому кількість елементів одного сорту - необмежено. Довільний набір з k предметів називається комбінацією з повтореннями з n елементів по k.
Отже,комбінацією з повтореннями називаються набори, в яких кожен елемент може брати участь кілька разів.
Число комбінацій з повтореннями з n по k дорівнює біноміальним коефіцієнту
При фіксованому n похідною функцією чисел комбінацій з повтореннями з n по k є:
7. Формули включень та виключень; вміти записати для 2 і 3.
Формула включений-исключений (или принцип включений-исключений) — комбинаторная формула, позволяющая определить мощность объединения конечного числа конечных множеств, которые в общем случае могут пересекаться друг с другом.
Случай двух множеств
Например, в случае двух множеств формула включений-исключений имеет вид:
В сумме элементы пересечения учтены дважды, и чтобы компенсировать это мы вычитаем из правой части формулы. Справедливость этого рассуждения видна из диаграммы Эйлера-Венна для двух множеств, приведенной на рисунке.
Таким же образом и в случае множеств процесс нахождения количества элементов объединения состоит во включении всего, затем исключении лишнего, затем включении ошибочно исключенного и так далее, то есть в попеременном включении и исключении. Отсюда и происходит название формулы.