10.Залежні та незалежні події, умовна ймовірність.

Випадкові події А і В називають залежними, якщо поява однієї з них (А або В) впливає на ймовірність появи іншої.

У противному разі випадкові події А і В називаються незалежними

Умовна ймовірність та її властивість

Якщо ймовірність випадкової події А обчислюється за умови, що подія В відбулася, то така ймовірність називається умовною. Ця ймовірність обчислюється за формулою

, . (17)

Аналогічно

, . (18)

1. Р (А / В) = 0, якщо А∩В = .

2. Р (А / В) = 1, якщо А∩В = В.

3. У решті випадків 0 < Р(А / В) < 1.

11.Теорема множення для двох випадкових подій. Теорема множення для довільних випадкових подій.

Пересечением (произведением) двух событий C и D называется событие F, происходящее тогда и только тогда, когда наступают одновременно оба события C и D: F = C · D

Вероятность совместного появления двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже наступило.

В частности, для независимых событий

События являются независимыми, если факт появления одного из них не влияет на вероятность появления другого.

12.Попарно залежні та незалежні у сукупності події. Приклад Бернштейна.

Дві події називаються несумісними – якщо їх перетин є неможливою подією. А∩В=V. Дві події називаються сумісними, якщо їх перетин не є неможливою подією. А∩В≠V. Події А1, А2, ..., Аn називаються попарно несумісними, якщо кожні дві з них є несумісними. Приклад: несумісні - В результаті одного підкидання монети не може результатом бути і герб і цифра

Випадкові події А1 , А2 , …, Аn (Аi ( (, i = 1, 2, …, n) називається незалежними в сукупності, якщо при будь-яких k=1, 2, …, n та ( ( і1 ( і2 ( …( іk ( n. Якщо ці рівності виконуються при к=2, то події А1, А2,.., Аn називаються попарно незалежні.

Приклад Бернштейна показує що попарна незалежність подій ще не означає їх незалежність в сукупності.

Підкидається правильний тетраедр, три грані якого пофарбовано відповідно в червоний, синій і зелений кольори, а в розфарбуванні четвертої грані є всі три кольори. Події R (червоний), G (зелений), B(синій) означають, що в розфарбуванні грані, яка стикається з поверхнею, є відповідні кольори. Перевірити, що події R,G,B попарно незалежні, але не незалежні в сукупності.

Розв'язання

Оскільки тетраедр правильний, то беремо класичну модель.Кожен колір наявний на двох гранях, тому .

Два і більше кольорів наявні в розфарбуванні лише однієї грані, тому .Звідси,

Тому, події R,G,B - попарно незалежні за означенням. Але

що означає, що вони не є незалежними в сукупності.

13.Геометричні ймовірності. Задача про зустріч. Задача Бюффона.

У випробуваннях з незчисленною кількістю результатів для підрахунку ймовірностей вводять поняття геометричної ймовірності. , де -це міра області A. Задача про зустріч: Дві особи В і C умовилися зустрітися у визначеному місці між 14 і 15 годинами дня. Особа, що прийшла першою чекає другу впродовж 10 хвилин, після чого вирушає. Чому дорівнює ймовірність зустрічі цих осіб, якщо кожна з них може прийти у будь-який час протягом вказаної години незалежно від іншої? Розв’язання. Рахуватимемо інтервал з 14 до 15 годин дня відрізком [0,1] з довжиною 1 година. Нехай x і y — моменти приходу В і C (точки відрізка [0,1]). Всі можливі результати експерименту – множина точок квадрата із стороною 1 (рис. 2.2): Ω ={(x, y): 0 ≤ x ≤1, 0 ≤ y ≤1}=[0, 1]×[0, 1] . Можна вважати, що експеримент зводиться до кидання точки навмання в квадрат. При цьому сприятливими результатами є точки множини А: A={(x, y): x − y ≤1/6} (10 хвилин = 1/6 години). Тобто попадання у множину А навмання кинутої в квадрат точки U означає, що В і C зустрінуться. Тоді ймовірність зустрічі дорівнює

З адача Бюффона: На площині накреслені паралельні прямі, що знаходяться одна від одної на відстані 2a . На площину навмання кинута голка довжина якої 2l < 2a . Яка ймовірність того, що голка пересіче одну з прямих? Розв’язання. Зрозуміємо, що означає тут “навмання кинута голка”. Усі можливі положення голки (відрізки) на площині повністю визначаються положенням середини голки і кутом повороту голки відносно якого-небудь напряму. Причому дві ці змінні (положення центру і кут повороту) міняються незалежно один від одного (рис. 2.3). Позначимо через x ∈[0,a] відстань від середини голки до найближчої прямої, а через ϕ ∈[0,π ] — кут між якимсь напрямом прямих і голкою. Множина положень голки цілком визначається вибором навмання точки з прямокутника Ω = [0,π ]×[0,a]. (рис. 2.4). Голка пересікає найближчу пряму, якщо координати вибраної навмання точки задовольняють нерівності: x < l ⋅sinϕ . . Оскільки μ(Ω) = a ⋅π , то шукана ймовірність дорівнює .