5.3Абсолютная и простая сходимлсть рядов.

Признаки абсолютной сходимости

[править]Признак сравнения

Если   при  , то:

• если ряд   сходится, то ряд   сходится абсолютно

• если ряд   расходится, то ряд   расходится

Согласно критерию Коши,  . Значит,  , и по критерию Коши ряд   сходится. Второе утверждение следует из первого, так как если бы ряд   сходился, то и ряд   сходился бы.

[править]Признак сходимости рядов с монотонно убывающими членами

Пусть  . Тогда ряд   сходится тогда и только тогда, когда сходится ряд  Простейшие свойства сходящихся рядов.

1. Если ряд сходится, то сходится любой из его остатков. Наоборот, из сходимости какого-то остатка вытекает сходимость всего ряда. Отсюда следует, что изменение или выбрасывание конечного числа членов ряда не изменяет его сходимости или расходимости.

2. Если ряд   сходится, то  .

3. Если ряд   сходится, то сходится ряд   и имеет место равенство

.

4. Если ряды   и   сходятся, то сходится и ряд    имеет место равенство

.

5. Если ряд   сходится, то  .

Отсюда следует Признак расходимости ряда. Если  , то ряд   расходится.

6.1 Признак сравнения рядов с положительными членами. Пусть даны два ряда с неотрицательными членами   a_n и   b_n. Если существует натуральное число N такое, что неравенство a_n ≤ b_n выполнено для всех n ≥ N, то из сходимости ряда   b_n следует сходимость ряда   a_n, а из расходимости ряда   a_n — расходимость ряда   b_n.

6.2 Признак Даламбера.

а) Если существует натуральное число N такое, что для последовательности чисел q_n =  , построенной из членов ряда   a_n, a_n > 0, для всех n ≥ N выполняется неравенство   ≤ q< 1 (q — фиксированное число, не зависящее от n), то ряд сходится; если для всех n ≥ Nвыполняется неравенство   ≥ 1, то ряд  a_n расходится.

б) Если последовательность  , построенная из членов ряда   a_n, a_n > 0, имеет некоторый предел n,     = p, то при p < 1 ряд

   a_n сходится, а при p > 1 расходится (предельный признак Даламбера).

При p = 1 предельный признак Даламбера не дает ответа на вопрос, сходится данный ряд или расходится.

6.3 Признак Коши.

а) Если существует натуральное число N такое, что для числовой последовательности { }, построенной из членов ряда   a_n, a_n ≥ 0, для всех n ≥ N выполняется неравенство   ≤ q < 1 (q — фиксированное число, не зависящее от n), то ряд сходится; если для всех n ≥ Nвыполняется неравенство   ≥ 1, то ряд расходится.

б) Если у последовательности { }, построенной из членов ряда   a_n, a_n ≥ 0, существует     = p, то ряд   a_n сходится при p < 1 и расходится при p > 1.

При p = 1 предельный признак Коши не дает ответа на вопрос, сходится данный ряд или расходится.

6.4 Интегральный признак (Коши, Маклорен).

Пусть данный ряд имеет вид   a_n =   f (n), причем f (n) есть значение в точке x = nнекоторой функции f (x), определенной при x ≥ n₀. Если f (x) монотонно убывает и в области определения справедливо неравенство f (x) ≥ 0, то ряд   a_n сходится тогда и только тогда, когда сходится несобственный интеграл   f (x) dx.

6.5 Признак Лейбница. Если для членов ряда (2)

            c_n ≥ c_n + 1 (n = k, k + 1, …) и   c_n = 0,

то ряд сходится.

   Остаток у знакочередующихся рядов можно легко оценить. Если ряд   (– 1)^{n – 1} c_n сходится и имеет сумму S, то остаток R_n = S –   (– 1)^{n – 1} c_s имеет знак (– 1)^{n – 1} и | R_n | ≤ c_n + 1.