- •2.1 Определение неопределенного интеграла
- •2.2 Свойство линейности для неопределенного интеграла
- •2.3 Метод интегрирования заменой переменой
- •Получение формул [править]Для неопределённого интеграла
- •[Править]для определённого интеграла
- •2.5 Интегрирование рациональных дробей Интегрирование рациональных дробей
- •2.6 Основная серия подходов для интегрировая тригонометрических выражений
- •3.4.Сведенья кратного интеграла к интегралам одной переменной.
- •3.3. Свойство линейности для кратного интеграла
- •Криволинейный интеграл первого типа (по длине дуги)
- •Криволинейный интеграл второго типа (по координатам)
- •1Плоский случай
- •2Пространственный случай
- •4.4 Нахождение функции по ее полному дифференциалу
- •5.2 Определение суммы ряда.Необходимый признак сходимости ряда Определение
- •5.3Абсолютная и простая сходимлсть рядов.
- •7.1 Теорема существования радиуса сходимости у степенного ряда
- •7.2 Формулы определения радиуса сходимости
- •7.9. Ряды тейлора и маклорена для функций нескольких переменных Формула Тейлора для функции нескольких переменных
Получение формул [править]Для неопределённого интеграла
Функции и гладкие, следовательно, возможно дифференцирование:
Эти функции также непрерывны, значит можно взять интеграл от обеих частей равенства:
Операция интегрирования обратна дифференцированию:
После перестановок:
Не стоит, однако, забывать, что это равенство подразумевается в смысле равенства множеств, то есть, грубо говоря, с точностью до константы, возникающей во время интегрирования.
Типичную ошибку «потери» константы при обращении с неопределенным интегралом иллюстрирует следующий пример-софизм:
Отсюда «следствие»: , что очевидно неверно.
[Править]для определённого интеграла
В целом аналогично случаю неопределённого интеграла:
2.5 Интегрирование рациональных дробей Интегрирование рациональных дробей
Рациональной дробью называется дробь P(x)/Q(x), числитель P(x) и знаменатель Q(x) которой – многочлены. Рациональные дроби бывают неправильные, если степень многочлена в её числителе не меньше степени многочлена в знаменателе, и правильные, если степень многочлена в числителе меньше степени многочлена в знаменателе.
У любой неправильной дроби можно выделить её целую часть. Для этого следует по правилу деления многочленов разделить числитель на знаменатель. Поэтому любую неправильную дробь можно представить в виде суммы её целой части и некоторой правильной дроби.
Например, неправильную дробь
можно представить в виде
Таким образом, если необходимо проинтегрировать неправильную дробь, то, представив её в виде суммы многочлена и правильной дроби, с помощью метода разложения сведём решение к интегрированию правильной дроби.
Ограничимся интегрированием лишь правильных рациональных дробей, знаменателями которых являются многочлены первой и второй степени. В общем виде интегралы от таких дробей записываются следующим образом:
(18)
(19)
При интегрировании дробей можно использовать следующую формулу, получаемую с помощью метода замены переменной:
(20)
2.6 Основная серия подходов для интегрировая тригонометрических выражений
При интегрировании тригонометрических функцийиспользуются приемы, позволяющие понижать степени, избавляться от произведения и т.д., т.е. необходимо использовать тригонометрические формулы, часто приходится использовать определения и , как функции отношения к и к соответственно, для эффективной замены переменных.
Приведем основные формулы, необходимые для взятия неопределенных интегралов от тригонометрических функций.
Для понижения четных степеней используются следующие формулы:
Для избавления от произведения используются следующие формулы:
Также нужно помнить формулы двойных углов:
Метод замены переменной в неопределенном интеграле. (4) Используем табличную формулу , единственное отличие, вместо «икса» у нас сложное выражение.
Готово.
Пример 2
Найти неопределенный интеграл.
Это пример для самостоятельного решения, полное решение и ответ – в конце урока.
Пример 3
Найти неопределенный интеграл.
Классика жанра для тех, кто тонет на зачёте. Как Вы, наверное, заметили, в таблице интегралов нет интеграла от тангенса и котангенса, но, тем не менее, такие интегралы найти можно.
(1) Используем тригонометрическую формулу
(2) Подводим функцию под знак дифференциала.
(3) Используем табличный интеграл .