3.4.Сведенья кратного интеграла к интегралам одной переменной.

Кратным (n-кратным) интегралом функции   на множестве   называется число   (если оно существует), такое что, какой бы малой  -окрестностью числа   мы ни задались, всегда найдется такое разбиение множества   и набор промежуточных точек, что сумма произведений значения функции в промежуточной точке разбиения на меру разбиения будет попадать в эту окрестность. Формально:

 :   : 

Здесь   — мера множества  .

Это определение можно сформулировать в другой форме с использованием интегральных сумм. А именно, для данного разбиения   и множества точек   рассмотрим интегральную сумму

Кратным интегралом функции   называют предел

если он существует. Предел берётся по множеству всех последовательностей разбиений, с мелкостью стремящейся к 0. Разумеется, это определение отличается от предыдущего, по сути, лишь используемым языком.

Интеграл обозначается следующим образом:

• В векторном виде:  ,

• Либо ставят значок интеграла   раз, записывают функцию и   дифференциалов:  .

• Для двойного и тройного интегралов используются также обозначения   и   соответственно.

В современных математических и физических статьях многократное использование знака интеграла не применяется.

Такой кратный интеграл называется интегралом в собственном смысле.

• 3.3. Свойство линейности для кратного интеграла

Линейность по функции. Пусть   измеримо, функции   и   интегрируемы на  , тогда

.

4.1 два типа криволинейногоинтеграла

Криволинейный интеграл первого типа (по длине дуги)

Пусть в некоторой области D плоскости хоу (см. рис. 1) задана непрерывная функция f(x, y) и гладкая незамкнутая кривая L между точками А, В.

Рис. 1

Составим интегральную сумму по уже известному алгоритму. Разобьём кривую L точками

А = А₀, А₁, ..., А_п = В

на п произвольных участков l_i, обозначив через   длину i-го участка кривой между точками А_i-1, A_i, где I = 1, 2, …,п.

В каждом i-том участке выберем произвольно точку   и подсчитаем в ней значение функции f_i = f(M_i).

Просуммировав произведения  по всем i = 1, 2, …, п, получим интегральную сумму

.

Предел этой интегральной суммы, если он существует и не зависит от типа разбиения дуги L и способа нахождения точек M_i, где i = 1, 2, …, п, называется криволинейным интегралом первого типа от функции f(x, y), взятым по кривой L, и обозначается

где  .

Этому интегралу можно придать вполне определённый физический смысл: если в каждой точке дуги L задана переменная плотность   - функция точки, то можно подсчитать массу материальной дуги АВ:

. (1)

Сравните с задачей о вычислении массы неоднородного стержня, приводящей к понятию определённого интеграла .

Криволинейный интеграл второго типа (по координатам)

В пространственной области Т рассмотрим три функции P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z), непрерывные на дуге АВ кусочно-гладкой кривойL.

Разобьём дугу АВ точками M_i(x_i, y_i, z_i) на п элементарных дуг M_i-1M_i (i = 1, 2, …, n), на каждой из которых произвольно выберем точкуK_i. Вычислим значения каждой из функций в выбранных точках

P(K_i), Q(K_i), R(K_i) где i = 1, 2, …, n.

Спроектируем каждую элементарную дугу на оси координат, обозначив их проекции соответственно . Составим произведения

для всех i = 1, 2, …, n и просуммируем их:

 (5)

где S_n- интегральная сумма для функций P, Q, R.

Определение. Криволинейным интегралом второго типа, взятым по кривой L (или по пути АВ), называется предел интегральной суммы S_n при   и

Обозначается:

 (6)

В частности, в двухмерном пространстве, если кривая L целиком находится в плоскости хоу, а функции P, Q, R не зависят от переменной z, имеем криволинейный интеграл

Докажем, что составной интеграл существует, и одновременно получим метод его вычисления.

4.3 Критерий независимости криволинейного интеграла второго типа от пути

Независимость криволинейного интеграла от пути

         Среди силовых полей в физике особую роль играют так называемые потенциальные силовые поля. Их отличительной особенностью является то, что работа, совершаемая таким полем, зависит лишь от начальной и конечной точек пути, и не зависит от траектории, соединяющей эти точки. Математически это соответствует тому, что криволинейный интеграл второго рода также зависит лишь от начальной и конечной точек пути, и не зависит от траектории, соединяющей эти точки. Поэтому с математической точки зрения представляет интерес выяснение тех условий, при выполнении которых криволинейный интеграл обладает этим свойством.