Свойства евклидовых колец

• В евклидовом кольце каждый идеал — главный (в частности, все евклидовы кольца нётеровы).

  • Пусть I — произвольный идеал в евклидовом кольце. Если он содержит лишь 0, — он главный. В противном случае среди его ненулевых элементов найдётся элемент f с минимальной нормой (принцип минимума для натуральных чисел). Он делит все остальные элементы идеала: Если g — произвольный элемент идеала I, представим его в виде g = fq + r с d(r)<d(f). Тогда r - тоже элемент идеала I и он обязан быть нулём, так как его норма меньше, чем у f. Следовательно, идеал I содержится в идеале (f). С другой стороны, всякий идеал, содержащий элемент f, содержит идеал (f). Значит, I = (f) - главный идеал.

• Каждое евклидово кольцо факториально, то есть каждый элемент представим конечным произведением простых элементов, и притом однозначно (с точностью до их перестановки и умножения на обратимые элементы). Факториальность - общее свойство всех колец главных идеалов.

• Каждое евклидово кольцо R целозамкнуто, то есть если дробь  , является корнем многочлена   со старшим коэффициентом, равным 1, тогда   делится на  . Целозамкнутость - общее свойство всех факториальных колец.

Свойства модулей над евклидовым кольцом

Пусть R - евклидово кольцо. Тогда конечнопорождённые R-модули обладают следующими свойствами:

• Всякий подмодуль N конечнопорождённого R-модуля M конечно порождён. (следствие нётеровости кольца R)

• Ранг подмодуля N не превосходит ранга модуля M. (следствие главности идеалов в R)

• Подмодуль свободного R-модуля свободен. (то же)

• Гомоморфизм   конечнопорождённых R-модулей всегда приводится к нормальной форме. То есть существуют образующие (базис, если модуль свободен)   модуля N, образующие (базис)   модуля M, номер   и   - элементы кольца R, такие что   делит   и при i>k  , а при остальных —  . При этом коэффициенты   определены однозначно с точностью до умножения на обратимые элементы кольца R. (Тут прямо задействована евклидовость кольца R.)

18. Предел функций в точке.

1. Функция одной переменной. Определение предела функции в точке по Коши. Число bназывается пределом функции у = f(x) при х, стремящемся к а (или в точке а), если для любого положительного числа e существует такое положительное число d, что при всех х ≠ а, таких, что |x – a | < d, выполняется неравенство | f(x) – a | < e .

Определение предела функции в точке по Гейне. Число b называется пределом функции у = f(x) при х, стремящемся к а (или в точке а), если для любой последовательности {x_n}, сходящейся ка (стремящейся к а, имеющей пределом число а), причем ни при каком значении n х_n ≠ а, последовательность {y_n = f(x_n)} сходится к b.

Данные определения предполагают, что функция у = f(x) определена в некоторой окрестноститочки а, кроме, быть может, самой точки а.

Определения предела функции в точке по Коши и по Гейне эквивалентны: если число b служит пределом по одному из них, то это верно и по второму.

Указанный предел обозначается так:

Геометрически существование предела функции в точке по Коши означает, что для любого числа e > 0 можно указать на координатной плоскости такой прямоугольник с основанием 2d > 0, высотой 2e и центром в точке (а; b), что все точки графика данной функции на интервале (а–d; а + d), за исключением, быть может, точки М(а; f(а)

Критерий Коши существования предела функции в точке. Число b – предел функции у = f(x) при х, стремящемся к а, тогда и только тогда, когда для любого числа e > 0 можно указать такую проколотую d-окрестность точки а, что для любых чисел х₁ и х₂, содержащихся в этой окрестности, выполняется неравенство | f(x₁) – f(x₂) | < e.

Пусть     Тогда существуют пределы суммы и произведения функций f(x) и g(x), а в случае с ≠ 0 – и частного этих функций, причём:     Если определена сложная функция F(f(x)), причём   то существует и предел сложной функции, причём

В теории пределов доказываются следующие два утверждения.

Первый замечательный предел: 

Второй замечательный предел:   где е – знаменитое иррациональное число, e= 2,71...

При вычислении пределов для раскрытия неопределённостей, связанных с дифференцируемыми функциями, часто используют правило Лопиталя.

2. Функция многих переменных. Пусть функция у = f(x₁; x₂; …; x_n) определена в некоторой выколотой окрестности точки Р(р₁; р₂; …; р_n), принадлежащей области n–мерного пространства, состоящей из точек Х(x₁; x₂; …; x_n). Число b называется пределом функции у =f(x₁; x₂; …; x_n) при Х, стремящейся к Р, если для любого числа e > 0 существует такое положительное число d, что в точках Х выколотой окрестности точки Р, задаваемой неравенствами выполняется неравенство | f(x₁;x₂; ...;x_n) – b | < e.

19. Сумма, разность, произведение и деление пределов функций.

Пусть заданы две функции  и  . Если существуют   и   , то существуют и пределы суммы и произведения этих функций, а при  и предел частного, причем         ,     ,        . Для правильного применения этих теорем очень важно существование пределов каждой функции. Не трудно доказать, что предел постоянной функции равен этой постоянной, то есть    . Из приведенных формул следует полезное утверждение: 

  , то есть постоянный множитель можно выносить за знак предела. Если сделать замену переменной  , то вычисление предела при    всегда можно свести к вычислению предела при  . Из определения непрерывной функции следует, что ее предел совпадает со значением функции в этой точке. Доказывают, что все элементарные функции непрерывны в области определения, поэтому, если функция определена, то вычисление предела сводится к применению указанных теорем и подстановке   в выражение для функции.