13. Проколотая окрестность точки. Открытый и замкнутый интервалы.

Окрестности.

Определение: ε –окрестностью числа а называется множество чисел х удовлетворяющие неравенству

a-ε<x<a+ε  x-a  (////////) x  О_ε(а)

ε>0 а-ε а а+ε

О_ε(а)={xR:x-a<ε}

Проколотая ε окрестность – О^_ε(а) это множество таких чисел включающих R, и отстаёт от точки на ε и не принадлежит а.

О^_ε(а)={xR:0<x-a<ε}

(////////) x

а-ε а а+ε

Правая ε поло окрестность точки а: О⁺_ε(а)={xR:ax<a+ε}

 ///////) x

a a+ε

Проколотая правая ε поло окрестность точки а: О^_ε(а)={xR:a<x<a+ε} Рисунок подобен предыдущему только с выколотой точкой а.

Левая ε поло окрестность точки а: O^-_ε(a)={xR:a-ε<xa}

(//////// x

a-ε a

Проколотая, левая ε поло окрестность точки а: О^-_ε(а)={xR:a-ε<x<a} Рисунок подобен предыдущему только с выколотой точкой а.

Модуль и основные неравенства.

x; x>0

х= 0; x=0

-x; x<0

|x|<h  -h<x<h |x|>h x>h

h>0 x<-h

1.  а,b  R: |ab|a|+|b|

2.  а,b  R: |a-b|||a|-|b||

Можно рассматривать окрестности бесконечности:

О_ε(+)={xR:x>ε} (////////// x

ε>0 ε

О_ε(-)={xR:x<-ε} ///////////)  x

ε>0 -ε 0

О_ε()={xR:x>ε} \\\\\\) _ (////// x

x>ε;x<-ε -ε ε

14. Предельная, граничная, изолированная и внешняя точки множества.

Внутренняя точки

1. Внутренняя точка множества действительных чисел – точка, некоторая открытая окрестность которой целиком состоит из точек данного множества.

Пример

Точка 0,75 – внутренняя точка отрезка [0; 1]: ее окрестность (0,7; 0,8) целиком лежит в этом отрезке.

2. Аналогично определяется внутренняя точка множества точек некоторого (метрического) пространства – это точка, содержащаяся в этом множестве вместе с некоторой открытой окрестностью

внешняя точки

1. Внешняя точка множества действительных чисел – точка, некоторая открытая окрестность которой не содержит ни одной точки данного множества.

Пример

Точка 2 – внешняя для множества точек отрезка [0; 1]: интервал (1,5; 2,5) – пример открытой окрестности точки 2, не содержащей ни одной точки отрезка [0; 1].

2. Аналогично определяется внешняя точка множества точек некоторого (метрического) пространства – это точка, некоторая окрестность которой не содержит точек данного множества точек.

Граничная

Граничная точка множества – точка пространства, любая (открытая) окрестность которой содержит как точки, принадлежащие рассматриваемому множеству, так и не принадлежащие ему точки (точки его дополнения). Граничная точка множества может как принадлежать, так и не принадлежать этому множеству.

Пример 1

Для множества точек  где n – натуральное число, граничными служат все эти точки и, кроме того, число 0.

Пример 2

Граничными точками интервала (а; b) служат его концы – точки а и b

Предельная точка множества. Предел функции в точке

Пусть  . Число   называется предельной точкой множества X, если

Из определения следует, что любая окрестность точки x₀ содержит точку из множества X, отличную от x₀. Сама точка x₀ может принадлежать, а может и не принадлежать множеству X.

Значение +∞ есть предельная точка множества X, если

Значение -∞ предельная точка множества X, если

Точка  , не являющаяся предельной точкой множества X, называется изолированной точкой множества X, т. е.

Число   называется предельной точкой множества  , если из этого множества можно выделить последовательность (x_n) различных точек, сходящуюся к x₀. (Данное определение и определение, указанное в самом начале эквивалентны)