- •Примеры
- •5. Ограниченное снизу множество. Инфимум множества.
- •7. Свойство Архимеда. Плотное множество.
- •Неархимедово упорядоченное поле
- •8. Единственность поля действительных чисел. Расширенное множество действительных чисел.
- •10. Теорема Больцано – Вейерштрасса.
- •12. Окрестность точки. Внутренняя точка. Открытое и замкнутое множества.
- •13. Проколотая окрестность точки. Открытый и замкнутый интервалы.
- •15. Открытое покрытие. Теорема Гейн-Бореля.
- •Лемма Гейне — Бореля
- •16. Понятие функций. Область определения. Область значения.
- •17. Кольцо функций. Деление двух функций.
- •Примеры
- •Алгоритм Евклида
- •Свойства евклидовых колец
- •Свойства модулей над евклидовым кольцом
- •20. Односторонние пределы функций.
- •21. Пределы функций в бесконечности. Бесконечный предел.
- •22. Монотонная функция.
- •Условия монотонности функции
- •2) В. П. (н. П.) функции f(X) в точке x0 предел верхних (нижних) граней множеств значений функции f(X) в окрестности точки х0, когда эти окрестности стягиваются к точке х0. Он обозначается
- •Непрерывность функции в точке
- •Определение 25 (точки разрыва). A - точка разрыва f, если
- •28. Композиция двух функции и её непрерывность.
- •29. Ограниченная функция. Ограниченность непрерывных функции в замкнутом интервале.
- •Определение
- •37. Дифференцирование сложной функции.
- •38. Односторонние производные функции.
- •39. Экстремумы и точки перегиба функции.
- •Экстремумы
- •В ыпуклость и вогнутость.
- •40. Теорема Ролля.
- •Теорема (Ролля):
- •41. Теорема о промежуточном значении для производной.
- •Отношение бесконечно больших
- •43. Полином Тейлора. Остаточный член.
- •44. Теорема Тейлора.
- •45. Расширенная теорема о главном значении.
43. Полином Тейлора. Остаточный член.
Ряд Те́йлора — разложение функции в бесконечную сумму степенных функций.
Определение
Пусть функция бесконечно дифференцируема в некоторой окрестности точки . Формальный ряд
называется рядом Тейлора функции в точке .
Свойства
Если есть аналитическая функция в любой точке a, то её ряд Тейлора в любой точке области определения сходится к в некоторой окрестности .
Существуют бесконечно дифференцируемые функции, ряд Тейлора которых сходится, но при этом отличается от функции в любой окрестности . Например,Коши предложил такой пример:
У этой функции все производные в нуле равны нулю, поэтому коэффициенты ряда Тейлора в точке равны нулю.
Формула Тейлора
Формула Тейлора используется при доказательстве большого числа теорем в дифференциальном исчислении. Говоря нестрого, формула Тейлора показывает поведение функции в окрестности некоторой точки.
Теорема:
Пусть функция имеет производную в некоторой окрестности точки ,
Пусть
Пусть — произвольное положительное число,
тогда: точка при или при :
Это формула Тейлора с остаточным членом в общей форме (форма Шлёмильха — Роша).
Различные формы остаточного члена
В форме Лагранжа:
В форме Коши:
В интегральной форме:
Ослабим предположения:
Пусть функция имеет производную в некоторой окрестности точки
И производную в самой точке , тогда:
— остаточный член в асимптотической форме (в форме Пеано, в локальной форме)
Формула Тейлора для функции двух переменных
Пусть функция имеет полные производные вплоть до -го порядка включительно в некоторой окрестности точки . Введём дифференциальный оператор
.
Тогда разложением в ряд Тейлора функции по степеням и в окрестности точки будет
где — остаточный член в форме Лагранжа:
В случае функции одной переменной , поскольку для функции одной переменной частная производная тождественно равна полной. Аналогично формула распространяется на функции от любого числа переменных, меняется только число слагаемых в операторе .
44. Теорема Тейлора.
Формулировка теоремы
Точная формулировка большинства базовых версий теоремы такова.
Теорема Тейлора[1] Пусть k ≥ 1 является целым, и пусть функция f : R → R является k раз дифференцируемой в точке a ∈ R. Тогда существует функция hk : R → Rтакая, что
Многочлен, возникающий в теореме Тейлора, является многочленом Тейлора k-го порядка
функции f в точке a. Теорема Тейлора описывает асимптотическое поведение остаточного члена
который является ошибкой при нахождении приближения функции f с помощью многочленов Тейлора. Используя «O» большое и «o» малое теорему Тейлора можно сформулировать так
Формулы для остатка
Существует несколько точных формул для остаточного члена Rk многочлена Тейлора, наиболее общая из которых следующая.
Интегральная форма[4] записи формулы для остатка Пусть f(k) является абсолютно непрерывной на закрытом интервале между a и x. Тогда
Вследствие абсолютной непрерывности f(k) на закрытом интервале между a и x, её производная f(k+1) существует как L1-функция, и это следствие может быть получено с помощью формальных вычислений с использованием теоремы Ньютона — Лейбница и интегрирования по частям.
Доказательство теоремы Тейлора для одной вещественной переменной
Пусть[7]
где, как указано в формулировке теоремы Тейлора,
Достаточно показать, что
Доказательство основано на повторяющемся применении правила Лопиталя. Заметим, что каждое j = 0,1,…,k−1, . Отсюда каждая следующая производная числителя функции стремится к нулю в точке , и то же самое справедливо для знаменателя. Тогда
где переход от предпоследнего выражения к последнему следует из определения производной в точке x = a.