§ 12. Преломление луча двумя сферическими поверхностями. Линза

Пусть на пути параксиального луча света, исходящего из точки А\, расположенной на общей оптической оси C2Ci, уста­новлены две сферические поверхности с радиусами кривизны г, и —/"а (рис. 25). После преломления первой поверхностью луч А\М пойдет по направлению MN, продолжение кото­рого пересечет оптическую ось в точке А\', на расстоянии s/, определяемом формулой Аббе (3.10),

В точке N луч снова преломится, пойдет по направлению NAs и пересечет оптическую ось в точке Ау,' на расстоянии S2^/• Если бы светящаяся трчка была расположена в точке Ач', то луч A^N после преломления в точке N пошел бы по направле­нию NM, а изображение точки Ai' было бы мнимым и получи­лось бы в точке А\' на расстоянии s\'. Тогда уравнение (3.10) для этого случая записалось бы в виде

Пренебрегая толщиной вещества—величиной d, после вы­читания из уравнения (3.40) уравнения (3.41) получим

или, после приведения подобных членов, имеем

Уравнение (3.42) является уравнением тонкой линзы (d=0). Запишем уравнение (3.42) в виде

Если первой средой является воздух (rti==l), а показатель преломления вещества линзы п\' обозначить через п, то полу­чим в общем виде уравнение тонкой линзы:

При Si=oo получим формулу оптической силы тонкой линзы, помещенной в воздухе,

Подставляя \Ц' в правую часть равенства (3.44), получим в окончательном виде уравнение тонкой линзы в воз­духе

Линза является самой простой центрированной оптиче­ской системой. Она состоит из двух сферических поверхностей, ограничивающих прозрачный материал (обычно стекло). В частных случаях одна из поверхностей линзы может быть плоскостью (/•==оо).

Линза называется тонкой, если ее толщина d мала по срав­нению с радиусами кривизны. В тонкой линзе вершины по­верхностей совпадают с главными точками и совпадают между собой, образуя центр линзы. Линия, проведенная через центр тонкой линзы и через центры кривизны поверхностей, называ­ется оптической осью линзы. Центральную часть тонкой линзы можно принять за плоскопараллельную пластинку. Лучи, проходящие через центр линзы, практически не прелом­ляются.

Плоскости, проходящие через фокусы линзы и перпендику­лярные к оптической оси, называются фокальными плос­ко стям и. •

Для построения изображений в тонкой положительной линзе (рис. 26) достаточно провести; луч /, падающий на пер­вую поверхность линзы параллельно оптической оси, который после преломления пересечет ось по другую сторону линзы в точке F', расположенной на расстоянии f от линзы; затем луч 2, падающий на линзу и проходящий через ее фокус F, этот луч выходит из линзы параллельно ее оптической оси и луч 3, проходящий через оптический центр линзы, не изменяю­щий своего направления

Формулы параксиальной оптики, полученные в § 11, применимы к оптическим си­стемам с двумя преломляю­щими сферическими раздели­тельными поверхностями и более.

§ 13. Идеальная оптическая система

Простейшая оптическая центрированная система (лин­

за) для широкого пучка лучей дает весьма несовершенное изо­бражение. Идеальных оптических систем, которые давали бы стигматическое изображение независимо от ширины пучка, в природе не существует, за исключением плоских зеркал. Но реальные центрированные оптические системы, как правило, имеющие значительные диаметры входных отверстий, также призваны давать изображения хорошего качества, т. е. строить стигматические или близкие к стигматическим изображения. Это достигается специальными расчетами оптических систем, подбором и сочетанием линз с различными радиусами кривизны их поверхностей, разными сортами оптического стекла и опре­делением промежутков между линзами. Теория таких расчетов достаточно громоздка. Поэтому для оценки качества реальных оптических систем их сравнивают с идеальной оптической си­стемой.

Теория идеальной оптической системы, разработанная Га­уссом в 1841 г., есть чисто геометрическая теория, устанавли­вающая соотношения между точками, линиями, плоскостями. Она основывается на следующих положениях:

— каждой точке пространства предметов соответствует только одна точка в пространстве изображений (точки сопря­женные) ;

— каждой прямой линии пространства предметов соответ­ствует только одна прямая линия в пространстве изображений (линии сопряженные);

— если какая-либо точка в пространстве предметов лежит на прямой, то сопряженная с ней точка также лежит на пря­мой, сопряженной с первой прямой;

— всякая плоскость изображается плоскостью, сопряжен­ной с первой.

Оптическая ось идеальной центрированной системы явля­ется осью симметрии.

Теория Гаусса установила ряд так называемых карди­нальных точек и плоскостей, задание которых пол­ностью описывает все свойства оптической системы и позво­ляет пользоваться ею, не рассматривая реального хода лучей в системе.

Рис. 27. Ход лучей и построение изображений в идеальной оптической си­стеме. Кардинальные плоскости и точки

На рис. 27 представлена идеальная оптическая система с двумя сферическими поверхностями. Первая сферическая по­верхность с вершиной О и последняя — с вершиной О'. FOO'F'—оптическая ось системы.

Чтобы построить изображение точки через эту систему, до­статочно знать положение двух пар сопряженных точек, назы­ваемых кардинальными. Это точки F и F'—передний и задний фокусы; Н и Я'—передняя и задняя главные точки*, т. е,. знать фокусные расстояния и положение главных плоско­стей **.

Задняя главная плоскость Н' определяется пере­сечением продолжений лучей MN пространства предметов, иду­щих параллельно оси, и Q'F'—преломленного луча, идущего через фокус.

Передняя главная плоскость Н аналогично опре­делится, если параллельный луч идет в пространстве изобра­жений M'N', а преломление его QF—в пространстве пред­метов.

Точки пересечения главных плоскостей с оптической осью есть главные точки системы (Н'— задняя главная точка, Н—передняя главная точка).

Задний фокус системы—точка F'. Сопряженная с ней точка находится в бесконечности в пространстве предметов на оптической оси.

* Когда пфп', то в качестве кардинальных точек могут быть использо­ваны узловые точки К и /?', проходя через которые сопряженные лучи в пространствах предметов и изображений не изменяют направления.

** Когда п=п', узловые точки совпадают с главными. Главными плос­костями называются две сопряженные плоскости, расположенные перпенди­кулярно к оптической оси и проходящие через главные точки. Для главных плоскостей линейное увеличение Р= +1.

Передний фокус системы—точка Р. Сопряженная с ней точка находится в пространстве изображений на оптической оси в бесконечности.

Заднее фокусное расстояние f'=H'F'—расстояние от зад­ней главной точки до заднего фокуса.

Переднее фокусное расстояние—f=HF—расстояние от пе­редней главной точки до переднего фокуса (отрицательное). фокусные расстояния можно выразить через высоту h и углы

Задний и передний вершинные фокальные отрезки есть рас­стояния от вершин до фокусов, sp' =0 F и —Sp=OF.

Задняя и передняя фокальные плоскости проходят через фокусы перпендикулярно к оптической оси.

Расстояния задней (передней) главной плоскости от вер­шины последней (первой) поверхности системы

Пусть оптическая система задана кардинальными точками Н, Н' и F, F'. Получим формулы, определяющие положение всех сопряженных точек системы относительно оптической оси, фокусов и главных точек.

В пространстве предметов возьмем произвольный отрезок АВ, перпендикулярный к оптической оси. Его положение в про­странстве предметов определится координатами концов от­резка, точек А и В (по оптической оси —Z; перпендикулярно к ней: О; (/).

Найдем положение сопряженного отрезка А'В' в простран­стве изображений. Для этого достаточно из точки В провести два луча (один параллельно оптической оси до задней глав­ной плоскости, далее через F'; второй через F до передней главной плоскости, далее параллельно оси, в соответствии со свойствами главных плоскостей). Пересечение лучей (точка В') есть изображение точки В. Точка А' (изображение точки А) получится как основание перпендикуляра, опущенного из точки В' на оптическую ось.

Положение изображения отрезка (точек А' и В') опреде­лится координатами: на оптической оси -{-г', перпендикулярно к оси, соответственно, О и (—у'). Положение отрезка А'В' от­носительно задней главной плоскости определится расстоянием s' из формулы Гаусса (3.19), справедливой, как и другие урав­нения, для одной или нескольких сферических поверхностей.

В подтверждение рассмотрим подобные треугольники ABF и FHP, а также A'B'F' и F'H'P', имеем

откуда ff'=zz', получим известное уравнение Ньютона, позво­ляющее определить положение изображения относительно зад­ней фокальной плоскости по известным фокусным расстояниям и заданному положению предмета относительно передней фо­кальной плоскости

Если значения—z и г' заменить в соответствии с рис. 27:

z=s—/, z'=s'—f, то получим формулу Гаусса (3.19), и рас­стояние до изображения относительно задней главной плос­кости

Для оптической системы, помещенной в воздухе, крайние среды имеют показатель преломления п'-=п=\, тогда из урав­нения (3.14) имеем

С учетом (3.51) формула Гаусса (3.19) обращается в фор­мулу (3.46) тонкой линзы в воздухе.

.Уравнение (3.46), называемое формулой отрезков, исполь­зуется для определения положения изображения относительно задней главной плоскости

Чтобы определить требования, которым должна удовлетво­рять идеальная оптическая система, когда лучи идут широким гомоцентрическим пучком, проведем луч АЕ из точки А (см. рис. 27) под произвольным углом (—ст) к оптической оси. Со­пряженный с ним луч Е'А' образует с оптической осью угол о'.

Из рис. 27

Подставим эти значения в выражение (3.52), после некото­рых преобразований получим

Уравнение (3.52') справед­ливо для идеальных систем при любых углах о и о'.

Для параксимального пуч­ка имеется уравнение (3.31).

Сопоставляя уравнения (3.52Q и (3.31) для паракси-мальной области (когда tgo= =sin ff"o/p и tg o^s'n o= =o7p), получим уравнение f3.14). Если крайние среды одинаковы (n'^n), когда лин­за, например, в воздухе, то f'=—f.

Увеличения (линейное, продольное и угловое) идеальной оптической системы определяются также известными форму­лами: (3.24), (3.26), (3.27), (3.36), (3.37), (3.34), (3.35), (3.38) параксиальной оптики, т. е. идеальная система для реальных приборов осуществима только в параксиальной области. Наконец, воспользуемся свойствами главных плоскостей и кардинальных точек для графического построения изображений.

На рис. 28 точка А расположена в пространстве предметов на расстоянии (—z) от переднего фокуса, на оптической оси. Изображение этой точки можно построить, используя следую­щие два луча: луч AQ, проведенный под произвольным углом (—о) к оптической оси; луч СР, проведенный параллельно оп­тической оси, через точку пересечения первого луча с передней фокальной плоскостью.

После преломления в системе (по свойству главных плоско­стей) второй луч обязательно пройдёт через задний фокус F'. Искомое изображение точки А' есть точка пересечения опти­ческой оси и преломленного первого луча, проведенного через точку Q', параллельно преломленному второму лучу P'F'. Рас­стояние от заднего фокуса до изображения равно z'.

Правильность графического построения доказывается спра­ведливостью формулы Ньютона по отношению точек А и А'. Из подобных треугольников CQP и ACF-F'P'H' и A'F'D' имеем

PQ/FC=CP/AF и D'F'IP'H'=F'A'IH'F'. Учитывая, что D'F'=Q'P'=QP (по построению), запишем CPIAF^F'A'IH'F',

причем CP=—f; AF=—z; A'F'=z'; H'F'^f, откуда zz'^ff, следовательно, точки А и А' действительно являются сопряжен­ными.

Рассмотрим пример построения изображения, когда предмет находится вне оптической оси.

На рис. 28 отрезок АВ расположен перпендикулярно к глав­ной оптической оси на расстоянии (—z) от передней фокальной плоскости. Точка В находится вне оси, а точка А на оси. Изо­бражение отрезка АВ можно построить следующими двумя лу­чами, проведенными из точки В: лучом ВМ, проведенным па­раллельно оптической оси, который после преломления в си­стеме (на задней главной плоскости) обязательно пройдет через задний фокус F'; лучом BN, проходящим через передний фокус F, который после преломления в системе (на передней главной плоскости) пойдет паралельно оси.

На пересечении преломленных лучей получится искомая точка В'. Перпендикуляр из этой точки на ось в пересечении с осью даст точку А'—изображение точки А.

Доказательство справедливости построения, подобно преды­дущему, можно сделать, используя две пары подобных тре­угольников: ^ABF~AFNH и AF'B'A'^/^F'N'H'. Откуда оп­ределяется уравнение (3.23).