- •Лекция. Балка на упругом основании
- •2.1. Дифференциальное уравнение оси изогнутой балки, лежащей на сплошном упругом основании
- •Значения коэффициента постели k1 для различных грунтов
- •2.2. Анализ общего решения дифференциального уравнения изгиба балки на упругом основании
- •2. 3. Расчет бесконечно длинной балки, нагруженной сосредоточенной силой
- •2.4. Расчет балки бесконечной длины, нагруженной системой сосредоточенных сил
- •Основные геометрические характеристики стандартных рельсов
- •2.5. Расчет элементов верхнего строения железнодорожного пути как балки бесконечной длины на упругом основании
- •1. Определение прогибов и внутренних усилий
- •2. Определение напряжений в элементах верхнего строения пути
- •5.6. Расчет коротких балок на упругом основании. Функции Крылова
- •2.7. Расчет шпалы рельсового пути, как короткой балки на упругом основании
- •1. Расчет начальных параметров
- •2. Определение прогибов ( у) , углов поворота (φ) и внутренних усилий (q,м)
2.7. Расчет шпалы рельсового пути, как короткой балки на упругом основании
Пусть требуется определить прогибы и внутренние усилия в железобетонных шпалах E = 3,051010 Н/м2 , длиной 2l = 2,7 м, с размерами поперечного сечения b h = 0,250,18 м2, лежащей на балластном слое щебня k1 = 75 МПа (см. табл.5.1), нагруженной двумя силами P = 210 кН каждый, приложенных на расстоянии a = 0.54 м от ее концов (рис.5 .8).
Решение:
1. Расчет начальных параметров
Последовательно вычисляем все необходимые геометрические и жесткостные расчетные характеристики для заданной системы:
м4;
м3;
Hм2;
Па;
.
Таблица 2.7
z |
sinz |
cosz |
shz |
chz |
U1(z) |
U2(z) |
2U3(z) |
U4(z) |
0,0 |
0,0000 |
1,0000 |
0,0000 |
1,0000 |
1,0000 |
0,0000 |
0,0000 |
0,0000 |
0,1 |
0,0998 |
0,9950 |
0,1002 |
1,0050 |
0,9999 |
0,1000 |
0,0050 |
0,0002 |
0,2 |
0,1987 |
0,9801 |
0,2013 |
1,0201 |
0,9998 |
0,1999 |
0,0200 |
0,0024 |
0,3 |
0,2955 |
0,9553 |
0,3045 |
1,0453 |
0,9986 |
0,2999 |
0,0450 |
0,0045 |
0,4 |
0,3894 |
0,9210 |
0,4108 |
1,0811 |
0,9957 |
0,3997 |
0,0800 |
0,0107 |
0,5 |
0,4794 |
0,8776 |
0,5211 |
1,1276 |
0,9896 |
0,4989 |
0,1249 |
0,0208 |
0,6 |
0,5646 |
0,8253 |
0,6367 |
1,1855 |
0,9784 |
0,5974 |
0,1797 |
0,0360 |
0,7 |
0,6442 |
0,7648 |
0,7586 |
1,2552 |
0,9600 |
0,6944 |
0,2443 |
0,0571 |
|
0,7071 |
0,7071 |
0,8687 |
1,3246 |
0,9366 |
0,7754 |
0,3071 |
0,0806 |
0,8 |
0,7173 |
0,6967 |
0,8881 |
1,3374 |
0,9318 |
0,7890 |
0,3185 |
0,0851 |
0,9 |
0,7833 |
0,6216 |
1,0265 |
1,4331 |
0,8908 |
0,8803 |
0,4020 |
0,1211 |
1,0 |
0,8415 |
0,5403 |
1,1752 |
1,5431 |
0,8337 |
0,9667 |
0,4944 |
0,1659 |
1,1 |
0,8912 |
0,4536 |
1,3356 |
1,6685 |
0,7568 |
1,0464 |
0,5951 |
0,2203 |
1,2 |
0,9320 |
0,3624 |
1,5095 |
1,8107 |
0,6562 |
1,1173 |
0,7034 |
0,2851 |
1,3 |
0,9636 |
0,2675 |
1,6984 |
1,9709 |
0,5272 |
1,1767 |
0,8183 |
0,3612 |
1,4 |
0,9854 |
0,1700 |
1,9043 |
2,1509 |
0,3656 |
1,2216 |
0,9382 |
0,4489 |
1,5 |
0,9975 |
0,0707 |
2,1293 |
2,3524 |
0,1663 |
1,2485 |
1,0620 |
0,5490 |
|
1,0000 |
0,0000 |
2,3013 |
2,5092 |
0,0000 |
1,2546 |
1,1507 |
0,6273 |
1,6 |
0,9996 |
-0,0292 |
2,3756 |
2,5775 |
-0,0753 |
1,2536 |
1,1873 |
0,6615 |
1,7 |
0,9917 |
-0,1288 |
2,6456 |
2,8283 |
-0,3643 |
1,2320 |
1,3118 |
0,7864 |
1,8 |
0,9738 |
-0,2272 |
2,9422 |
3,1075 |
-0,7060 |
1,1788 |
1,4326 |
0,9236 |
1,9 |
0,9463 |
-0,3233 |
3,2682 |
3,4174 |
-1,1049 |
1,0886 |
1,5463 |
1,0726 |
2,0 |
0,9093 |
-0,4161 |
3,6269 |
3,7622 |
-1,5655 |
0,9559 |
1,6420 |
1,2320 |
2,1 |
0,8632 |
-0,5048 |
4,0219 |
4,1443 |
-2,0920 |
0,7736 |
1,7359 |
1,4019 |
2,2 |
0,8084 |
-0,5885 |
4,4571 |
4,5679 |
-2,6882 |
0,5348 |
1,8016 |
1,5789 |
2,3 |
0,7457 |
-0,6663 |
4,9370 |
5,0372 |
-3,3563 |
0,2334 |
1,8408 |
1,7614 |
|
0,7071 |
-0,7071 |
5,2280 |
5,3228 |
-3,7634 |
0,0335 |
1,8484 |
1,8651 |
2,4 |
0,6754 |
-0,7374 |
5,4662 |
5,5569 |
-4,0976 |
-0,1388 |
1,8459 |
1,9460 |
2,5 |
0,5985 |
-0,8011 |
6,0502 |
6,1323 |
-4,9126 |
-0,5883 |
1,8105 |
2,1292 |
2,6 |
0,5155 |
-0,8569 |
6,6947 |
6,7690 |
-5,8003 |
-1,1236 |
1,7256 |
2,3065 |
2,7 |
0,4274 |
-0,9041 |
7,4063 |
7,4735 |
-6,7568 |
-1,7509 |
1,5827 |
2,4725 |
2,8 |
0,3390 |
-0,9422 |
8,1919 |
8,2527 |
-7,7757 |
-2,4604 |
1,3885 |
2,6290 |
2,9 |
0,2392 |
-0,9710 |
9,0596 |
9,1146 |
-8,8503 |
-3,3083 |
1,0835 |
2,7443 |
3,0 |
0,1411 |
-0,9900 |
10,0179 |
10,0677 |
-9,9670 |
-4,2486 |
0,7068 |
2,8346 |
3,1 |
0,0416 |
-0,9991 |
11,0765 |
11,1215 |
-11,1114 |
-5,3019 |
0,2304 |
2,8822 |
|
0,0000 |
-1,0000 |
11,5487 |
11,5920 |
-11,5920 |
-5,7960 |
0,0000 |
2,8872 |
Поместим начало системы координат xy в центре тяжести левого крайнего сечения шпалы. Граничные условия задачи в начальном сечении при x = 0 запишем в виде:
M0 = 0; Q0 = 0. (2.48)
Согласно (12.40)(12.43) запишем функции прогибов, углов поворота и внутренних усилий для I участка ( ):
(2.49)
Составим соответствующие выражения для II участка ( ), учтя, что на границе участков I и II, т.е. при x = a и имеем скачок функции поперечной силы на величину :
; (2.50)
; (2.51)
; (2.52)
. (2.53)
Для определения и , используем симметричный характер нагружения балки относительно среднего сечения x = l, где имеем:
; .
Составим следующую систему уравнений:
; (2.54)
, (2.55)
Cогласно (12.54) и (12.55), учитывая, что
= 1,061,35 1,5; = 1,06(1,35 0,54) 0,9,
с учетом данных таблицы 12.7, получим:
После ряда преобразований приходим к системе:
корни которой принимают значения:
м; рад.
В качестве условия проверки правильности вычисления значений начальных параметров, подставим их значения в (12.54) и (12.55), получим:
Следовательно, величины и определены верно.