2.5. Расчет элементов верхнего строения железнодорожного пути как балки бесконечной длины на упругом основании
Пусть требуется определить прогибы и внутренние усилия в элементах железнодорожного пути. Характеристика пути: рельсы типа Р43; шпалы сосновые: длина шпалы 2,7 м, ширина 0,25 м; балласт песчаный с коэффициентом постели k1 = 50 МПа (см. табл.2.1), площадь подкладки = 4,64102 м2 ; локомотив тепловоз серии ТЭЗ с нагрузками от колес на рельс (105 + 105 + 105 + 105 + 105 + 105) кН с расстояниями между колесами (2,1 + 2,1 + 4,4 + 2,1 + 2,1) м (рис.2.6).
Рис. 2.6
Решение:
1. Определение прогибов и внутренних усилий
Последовательно вычисляем или находим по таблицам все необходимые геометрические и жесткостные расчетные характеристики для заданной системы:
Рис.2.7
Jz = 1,489105 м4; Wz = 2,083104 м3; (см. табл.12.2)
EJz = 2,110111,489105 = 3,127106 Нм2;
k = k1b = 501060,14 = 7,0106 Па.
Площадь полушпалы = lb/2 = 2,70,25/2 = 0,3375 м2.
.
Определим 
м.
Таким образом, в расчете будем
учитывать нагрузки лишь от трех колес
локомотива.
Разбиваем балку на участки в точках 1, 2,..., 11. На балку действует система сосредоточенных грузов Р1 = Р2 = Р3 = 105 кН, приложенных в сечениях 4, 6 и 8 системы (рис.2.7, а).
Расчеты
будем вести в табличной форме (см.
табл.2.4 2.6),
по формулам (2.28)(2.30),
для чего в каждом сечении определяется
параметр 
.
По этому параметру в табл.2.3 находятся
соответствующие значения специальных
функций от действия отдельно каждой из
нагрузок. Остальное ясно из таблиц
2.42.6.
Таблица 2.3
|
|
|
|
0,0 |
1,0000 |
1,0000 |
1,0000 |
0,1 |
0,9907 |
0,8100 |
0,9003 |
0,2 |
0,9651 |
0,6398 |
0,8024 |
0,3 |
0,9267 |
0,4888 |
0,7077 |
0,4 |
0,8784 |
0,3564 |
0,6174 |
0,5 |
0,8231 |
0,2415 |
0,5323 |
0,6 |
0,7628 |
0,1431 |
0,4530 |
0,7 |
0,6997 |
0,0599 |
0,3708 |
/4 |
0,6448 |
0,0000 |
0,3224 |
0,8 |
0,6354 |
-0,0093 |
0,3131 |
0,9 |
0,5712 |
-0,0657 |
0,2527 |
1,0 |
0,5083 |
0,1108 |
0,1988 |
1,1 |
0,4476 |
-0,1457 |
0,1510 |
1,2 |
0,3899 |
0,1716 |
0,1091 |
1,3 |
0,3355 |
-0,1897 |
0,0729 |
1,4 |
0,2849 |
-0,2011 |
0,0419 |
1,5 |
0,2384 |
-0,2068 |
0,0158 |
/2 |
0,2079 |
-0,2079 |
0,0000 |
1,6 |
0,1959 |
-0,2077 |
-0,0059 |
1,7 |
0,1576 |
-0,2047 |
-0,0235 |
1,8 |
0,1234 |
-0,1985 |
-0,0376 |
1,9 |
0,0932 |
-0,1899 |
-0,0484 |
2,0 |
0,0667 |
-0,1794 |
-0,0563 |
2,1 |
0,0439 |
-0,1675 |
-0,0618 |
2,2 |
0,0244 |
-0,1548 |
-0,0652 |
2,3 |
0,0080 |
-0,1416 |
-0,0668 |
3/4 |
0,0000 |
-0,1340 |
-0,0670 |
2,4 |
-0,0056 |
-0,1282 |
-0,0669 |
2,5 |
-0,0166 |
0,1149 |
-0,0658 |
2,6 |
-0,0254 |
-0,1019 |
-0,0636 |
2,7 |
-0,0320 |
-0,0895 |
-0,0608 |
2,8 |
-0,0369 |
-0,0777 |
-0,0573 |
2,9 |
0,0403 |
-0,0666 |
-0,0534 |
3,0 |
-0,04226 |
-0,05632 |
-0,04929 |
3,1 |
-0,04314 |
-0,04688 |
-0,04501 |
|
-0,04321 |
-0,04321 |
-0,04321 |
|
-0,00898 |
0,00898 |
0,0000 |
|
0,00187 |
0,00187 |
0,00187 |
Таблица 2.4
№ сеч. |
Расстояние x до сечения от нагрузки, м (в скобках значение аргумента x) |
Значения функции i в соответствующих точках от действия нагрузки |
|
10-3 м |
|||||||
P1 |
P2 |
P3 |
P1 |
P2 |
P3 |
|
|
||||
1 |
-3,15 (2,7) |
-5,25 (4,5) |
-7,35 (6,3) |
-0,0334 |
-0,0123 |
0,0019 |
-0,0438 |
-0,2845 |
|||
2 |
-2,10 (1,8) |
-4,20 (3,6) |
-6,30 (5,4) |
0,1181 |
-0,0357 |
-0,0003 |
0,0821 |
0,5323 |
|||
3 |
-1,05 (0,9) |
-3,15 (2,7) |
-5,25 (4,5) |
0,5659 |
-0,0334 |
-0,0123 |
0,5202 |
3,3738 |
|||
4 |
0,00 (0,0) |
-2,10 (1,8) |
-4,20 (3,6) |
1,0000 |
0,1181 |
-0,0357 |
1,0823 |
7,0194 |
|||
5 |
1,05 (0,9) |
-1,05 (0,9) |
-3,15 (2,7) |
0,5659 |
0,5659 |
-0,0334 |
1,0985 |
7,1240 |
|||
6 |
2,10 (1,8) |
0,00 (0,0) |
-2,10 (1,8) |
0,1181 |
1,0000 |
0,1181 |
1,2363 |
8,0177 |
|||
7 |
3,15 (2,7) |
1,05 (0,9) |
-1,05 (0,9) |
-0,0334 |
0,5659 |
0,5659 |
1,0985 |
7,1240 |
|||
8 |
4,20 (3,6) |
2,10 (1,8) |
0,00 (0,0) |
-0,0357 |
0,1181 |
1,0000 |
1,0824 |
7,0194 |
|||
9 |
5,25 (4,5) |
3,15 (2,7) |
1,05 (0,9) |
-0,0123 |
-0,0334 |
0,5659 |
0,5202 |
3,3737 |
|||
10 |
6,30 (5,4) |
4,20 (3,6) |
2,10 (1,8) |
-0,0003 |
-0,0357 |
0,1181 |
0,0821 |
0,5323 |
|||
11 |
7,35 (6,0) |
5,25 (4,5) |
3,15 (2,7) |
0,0019 |
-0,0123 |
-0,0334 |
-0,0438 |
-0,2845 |
|||
Таблица 2.5
№ сеч. |
Расстояние x до сечения от нагрузки, м (в скобках значение аргумента x) |
Значения функции i в соответствующих точках от действия нагрузки |
|
кНм |
|||||
P1 |
P2 |
P3 |
P1 |
P2 |
P3 |
||||
1 |
-3,15 (2,7) |
-5,25 (4,5) |
-7,35 (6,3) |
-0,0865 |
0,0087 |
0,0016 |
-0,0762 |
-2,312 |
|
2 |
-2,10 (1,8) |
-4,20 (3,6) |
-6,30 (5,4) |
-0,1972 |
-0,0108 |
0,0061 |
-0,2020 |
-6,130 |
|
3 |
-1,05 (0,9) |
-3,15 (2,7) |
-5,25 (4,5) |
-0,0699 |
-0,0865 |
0,0087 |
-0,1477 |
-4,481 |
|
4 |
0,00 (0,0) |
-2,10 (1,8) |
-4,20 (3,6) |
1,0000 |
-0,1972 |
-0,0108 |
0,7919 |
24,031 |
|
5 |
1,05 (0,9) |
-1,05 (0,9) |
-3,15 (2,7) |
-0,0699 |
-0,0699 |
-0,0865 |
-0,2263 |
-6,866 |
|
6 |
2,10 (1,8) |
0,00 (0,0) |
-2,10 (1,8) |
-0,1972 |
1,0000 |
-0,1972 |
0,6054 |
18,374 |
|
7 |
3,15 (2,7) |
1,05 (0,9) |
-1,05 (0,9) |
-0,0865 |
-0,0699 |
-0,0699 |
-0,2262 |
-6,866 |
|
8 |
4,20 (3,6) |
2,10 (1,8) |
0,00 (0,0) |
-0,0108 |
-0,1972 |
1,0000 |
0,7919 |
24,031 |
|
9 |
5,25 (4,5) |
3,15 (2,7) |
1,05 (0,9) |
-0,0087 |
-0,0865 |
-0,0699 |
-0,1477 |
-4,481 |
|
10 |
6,30 (5,4) |
4,20 (3,6) |
2,10 (1,8) |
0,0061 |
-0,0108 |
-0,1972 |
-0,2020 |
-6,130 |
|
11 |
7,35 (6,0) |
5,25 (4,5) |
3,15 (2,7) |
0,0016 |
-0,0087 |
-0,0865 |
-0,0762 |
-2,312 |
|
Таблица 2.6
№ сеч. |
Расстояние x до сечения от нагрузки, м (в скобках значение аргумента x) |
Значения функции i в соответствующих точках от действия нагрузки |
|
кН |
||||
P1 |
P2 |
P3 |
P1 |
P2 |
P3 |
|||
1 |
-3,15 (2,7) |
-5,25 (4,5) |
-7,35 (6,3) |
0,0599 |
0,0018 |
-0,0017 |
0,0600 |
3,151 |
2 |
-2,10 (1,8) |
-4,20 (3,6) |
-6,30 (5,4) |
0,0395 |
0,0233 |
-0,0029 |
0,0599 |
3,148 |
3 |
-1,05 (0,9) |
-3,15 (2,7) |
-5,25 (4,5) |
-0,2480 |
0,0599 |
0,0018 |
-0,1863 |
-9,779 |
4 |
0,00 (0,0) |
-2,10 (1,8) |
-4,20 (3,6) |
-1,0000 |
0,0395 |
0,0233 |
-0,9371 |
-49,199 |
4' |
0,00 (0,0) |
-2,10 (1,8) |
-4,20 (3,6) |
1,0000 |
0,0395 |
0,0233 |
1,0628 |
55,797 |
5 |
1,05 (0,9) |
-1,05 (0,9) |
-3,15 (2,7) |
0,2480 |
-0,2480 |
0,0599 |
0,0599 |
3,1448 |
6 |
2,10 (1,8) |
0,00 (0,0) |
-2,10 (1,8) |
-0,0395 |
-1,0000 |
0,0395 |
-1,0000 |
-52,500 |
6' |
2,10 (1,8) |
0,00 (0,0) |
-2,10 (1,8) |
-0,0395 |
1,0000 |
0,0395 |
1,0000 |
52,500 |
7 |
3,15 (2,7) |
1,05 (0,9) |
-1,05 (0,9) |
-0,0599 |
0,2480 |
-0,2480 |
-0,0599 |
-3,1448 |
8 |
4,20 (3,6) |
2,10 (1,8) |
0,00 (0,0) |
-0,0233 |
-0,0395 |
-1,0000 |
-1,0628 |
-55,797 |
8’ |
4,20 (3,6) |
2,10 (1,8) |
0,00 (0,0) |
-0,0233 |
-0,0395 |
1,0000 |
0,9371 |
49,199 |
9 |
5,25 (4,5) |
3,15 (2,7) |
1,05 (0,9) |
-0,0018 |
-0,0599 |
0,2480 |
0,1863 |
9,779 |
10 |
6,30 (5,4) |
4,20 (3,6) |
2,10 (1,8) |
0,0029 |
-0,0233 |
-0,0395 |
-00599 |
-3,148 |
11 |
7,35 (6,0) |
5,25 (4,5) |
3,15 (2,7) |
0,0017 |
-0,0018 |
-0,0599 |
-0,0600 |
-3,151 |
По этим результатам построены эпюры прогибов, изгибающих моментов и поперечных сил (см. рис.2.7, б, в, г).