Решение краевой задачи для уравнения теплопроводности в конечном стержне методом Фурье.
Задача: найти функцию непрерывную для , имеющую непрерывные частные и для удовлетворяющую дифференциальному уравнению (1)для , и следующим условиям:
1) начальному условию , (2) где f(x) - заданная на отрезке непрерывная функция;
2) граничным условиям (3)
Ищем частные решения
(отличные от
и удовлетворяющие граничным условиям
(3) вида
.
Подстановка в (1) дает:
,
откуда
.
Следовательно,
Из уравнения (4) находим:
В силу условия (3) должны
потребовать, чтобы
Отсюда, считая
получаем
(n—
целое). Полагаем С2=
1,
.
При
уравнение (11.4) дает:
Таким образом, функции
представляют собой частные
решения уравнения (5), удовлетворяющие
условиям на границе.
Чтобы удовлетворить начальному условию, составляем ряд
и требуем, чтобы
Следовательно, нужно
разложить
по системе
Подсчет коэффициентов Фурье дает:
(7)
Итак, решение задачи дается
рядом (6), где коэффициенты Ап
определяются по
формулам (7). Вследствие наличия множителей
ряд (6), как легко
проверить, сходится равномерно для
,
каково бы ни было
.
То же справедливо для рядов, получающихся
почленным дифференцированием по х
и по t
(любое число раз).
Следовательно, сумма ряда непрерывна
и почленное дифференцирование законно.
Случайные события. Классическое определение вероятности.
Определение. Событием называется всякий факт, который может произойти или не произойти в результате опыта.
Определение. События называются несовместными, если появление одного из них исключает появление других.
Определение. Полной группой событий называется совокупность всех возможных результатов опыта.
Определение. Достоверным событием называется событие, которое наверняка произойдет в результате опыта. Событие называется невозможным, если оно никогда не произойдет в результате опыта.
Определение. События называются равновозможными, если нет оснований считать, что одно из них появится в результате опыта с большей вероятностью.
Определение. При классическом определении вероятностью события А называется математическая оценка возможности появления этого события в результате опыта. Вероятность события А равна отношению числа, благоприятствующих событию А исходов опыта к общему числу попарно несовместных исходов опыта, образующих полную группу событий.
Исход опыта является благоприятствующим событию А, если появление в результате опыта этого исхода влечет за собой появление события А.
Очевидно, что вероятность достоверного события равна единице, а вероятность невозможного – равна нулю. Таким образом, значение вероятности любого события – есть положительное число, заключенное между нулем и единицей.
При статистическом определении в качестве вероятности события принимают его относительную частоту.
Определение. Относительной частотой события А называется отношение числа опытов, в результате которых произошло событие А к общему числу опытов.
Отличие относительной частоты от вероятности заключается в том, что вероятность вычисляется без непосредственного произведения опытов, а относительная частота – после опыта.
При достаточно большом числе произведенных опытов относительная частота изменяется мало, колеблясь около одного числа. Это число может быть принято за вероятность события.
Классическое определение вероятности неприменимо к испытаниям с бесконечным числом исходов. Чтобы преодолеть этот недостаток вводится понятие геометрической вероятности, т.е. вероятности попадания точки в какой – либо отрезок или часть плоскости (пространства).