6. Основные понятия теории числовых рядов. Необходимое условие сходимости. Показать расходимость гармонического ряда.

Опр. Сумма членов бесконечной числовой последовательности называется числовым рядом.

При этом числа называются членами ряда, а u_n – общим членом ряда.

Опр. Суммы , n = 1, 2, … называются частными (частичными) суммами ряда.

Опр. Ряд называется сходящимся, если сходится последовательность его частных сумм. Сумма сходящегося ряда – предел последовательности его частных сумм.

Опр. Если последовательность частных сумм ряда расходится, т.е. не имеет предела, или имеет бесконечный предел, то ряд называется расходящимся и ему не ставят в соответствие никакой суммы.

При изучении рядов решают в основном две задачи: исследование на сходимость и нахождение суммы ряда.

Утв. (необходимый признак сходимости) Если ряд сходится, то общий член u_n стремится к нулю. Однако, это условие не является достаточным. Можно говорить только о том, что если общий член не стремится к нулю, то ряд точно расходится.

Например, так называемый гармонический ряд является расходящимся, хотя его общий член и стремится к нулю.

Док-во. Рассмотрим частичные суммы гармонического ряда:

Видим, что частичная сумма неограниченно возрастает, т.е. гармонический ряд расходится.

7. Ряды с положительными членами. Достаточные признаки сравнения. Достаточные признаки сходимости Даламбера, Коши. Достаточный интегральный признак сходимости. Геометрический смысл интегрального признака.

Опр. Ряд вида , где , называется рядом с положительными членами.

Теорема. Для сходимости ряда с положительными членами необходимо и достаточно, чтобы частные суммы ряда были ограничены.

Достаточные признаки сравнения рядов с положительными членами.

Пусть даны два ряда и при u_n, v_n  0.

Теорема. Если u_n  v_n при любом n, то из сходимости ряда следует сходимость ряда , а из расходимости ряда следует расходимость ряда .

Доказательство. Обозначим через S_n и _n частные суммы рядов и . Т.к. по условию теоремы ряд сходится, то его частные суммы ограничены, т.е. при всех n _n  M, где М – некоторое число. Но т.к. u_n  v_n, то S_n  _n то частные суммы ряда тоже ограничены, а этого достаточно для сходимости.

Теорема. Если и существует предел , где h – число, отличное от нуля, то ряды и ведут одинаково в смысле сходимости.

Достаточные признаки сходимости

Признак Даламбера.

Если для ряда с положительными членами существует такое число q<1, что для всех достаточно больших n выполняется неравенство

то ряд сходится, если же для всех достаточно больших n выполняется условие

то ряд расходится.

Следствие. Если существует предел , то при  < 1 ряд сходится, а при  > 1 – расходится. Если  = 1, то на вопрос о сходимости ответить нельзя.

Признак Коши. (радикальный признак)

Если для ряда с неотрицательными членами существует такое число q<1, что для всех достаточно больших n выполняется неравенство

,

то ряд сходится, если же для всех достаточно больших n выполняется неравенство

то ряд расходится.

Следствие. Если существует предел , то при <1 ряд сходится, а при >1 ряд расходится.

Интегральный признак Коши.

Если f(х) – непрерывная положительная функция, убывающая на промежутке [1;), то ряд f(1) + f(2) + …+ f(n) + … = и несобственный интеграл одинаковы в смысле сходимости.

Рассмотрим криволинейную трапецию, ограниченную сверху графиком функции y=f(x), с боковых сторон прямыми х=1, х=n, снизу осью Ох. Впишем в эту трапецию и опишем около нее две ступенчатые фигуры, состоящие из прямоугольников с основаниями [1, 2], [2, 3], …, [n-1, n] и высотами f(1), f(2), f(3),…, f(n-1), f(n). Тогда, принимая во внимание геометрический смысл определенного интеграла, имеем

или, короче, Отсюда получаем

где - частичные суммы рассматриваемого ряда.

Пусть интеграл сходится. Это значит, что существует Так как , то последовательность возрастает с увеличением n и ограничена сверху своим пределом: . Из неравенства (1) следует, что т. е. последовательность частичных сумм ряда ограничена. Это значит, что ряд сходится.

Пусть теперь интеграл расходится. В этом случае при (как монотонно возрастающая неограниченная последовательность). Из неравенства (2) следует, что при , т. е. последовательность частичных сумм ряда расходится и, следовательно, ряд расходится.