- •Экзаменационные вопросы
- •Определение уравнения второго порядка, его решения, геометрический смысл решения. Общее решение. Задача Коши, геометрический смысл. Показать, что функция является решением уравнения .
- •Теоремы о структурах решений линейного однородного и неоднородного уравнений второго порядка. Являются ли функции и общими решениями однородных уравнений?
- •Общее решение линейного однородного уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Решите задачу Коши
- •Метод Лагранжа для линейного неоднородного уравнения второго порядка. Решите уравнение
- •Основные понятия теории числовых рядов. Необходимое условие сходимости. Показать расходимость гармонического ряда.
- •Знакочередующиеся ряды. Достаточный признак сходимости Лейбница. Абсолютная и условная сходимость рядов. Свойства абсолютно сходящихся рядов
- •Степенные ряды. Теорема Абеля. Интервал сходимости.
- •Единственность разложения в степенные ряды. Ряд Маклорена.
- •Разложение в степенной ряд функций .
- •Ортогональные и ортонормированные системы функций. Общий ряд Фурье.
- •Ортогональные и ортонормированные системы функций. Показать ортогональность тригонометрической системы.
- •Тригонометрический ряд Фурье на [-π;π]. Вычисление коэффициентов. Сходимость ряда. Тригонометрический ряд Фурье для четных и нечетных функций.
- •Сходимость рядов Фурье.
- •Тригонометрический ряд Фурье для четных и нечетных функций.
- •Тригонометрический ряд Фурье на [-l;l].
- •Ряд Фурье на [0;l].
- •Вывод уравнения колебания струны. Постановка краевой задачи.
- •Решение краевой задачи для уравнения колебания струны методом Фурье.
- •Колебания бесконечной струны. Формула Даламбера.
- •Вывод уравнения теплопроводности в конечном стержне. Постановка первой краевой задачи.
- •Решение краевой задачи для уравнения теплопроводности в конечном стержне методом Фурье.
- •Случайные события. Классическое определение вероятности.
- •Теорема сложения вероятностей.
- •Теорема умножения вероятностей.
- •Формула полной вероятности
- •Формула Бейеса
- •Случайные величины. Закон распределения дискретной случайной величины. Биномиальное распределение. Распределение Пуассона.
- •Функция распределения непрерывной случайной величины. Ее свойства.
- •Числовые характеристики дискретных случайных величин. Числовые характеристики непрерывных случайных величин. Свойства математического ожидания и дисперсии.
- •Основные распределения непрерывных случайных величин. Равномерное распределение.
- •Основные распределения непрерывных случайных величин. Нормальное распределение.
Общее решение линейного однородного уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Решите задачу Коши
Опр. Линейным однородным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение все члены которого первой степени относительно функции и ее производных, а коэффициенты - постоянные.
Решение дифференциального уравнения вида будем искать в виде , где k = const.
Т.к. то или . При этом уравнение называется характеристическим уравнением дифференциального уравнения.
Как и любое алгебраическое уравнение степени 2, характеристическое уравнение имеет 2 корня. Каждому корню характеристического уравнения ki соответствует решение дифференциального уравнения.
В зависимости от коэффициентов k характеристическое уравнение может иметь либо 2 различных действительных корня, либо среди действительных корней могут быть кратные корни, могут быть комплексно – сопряженные корни, как различные, так и кратные.
Сформулируем общее правило нахождения решения линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами.
1) Составляем характеристическое уравнение и находим его корни.
2) Находим частные решения дифференциального уравнения, причем:
a) если корни к1 и к2 уравнения действительные и различные, то частными решениями уравнения являются функции и . Общее решение имеет вид
б) если корни к1 и к2 уравнения действительные и равные, то в этом случае имеем только одно частное решение . Общее решение имеет вид .
в) если корни уравнения комплексные: и , то частными решениями уравнения являются и . Общее решение имеет вид .
Решите задачу Коши
Составляем характеристическое уравнение и находим его корни. Корни действительные и различные. Общее решение имеет вид . , .
При подстановке полученных значений постоянных в общее решение получаем частное решение при заданных начальных условиях (решение задачи Коши). .
Метод Лагранжа для линейного неоднородного уравнения второго порядка. Решите уравнение
Рассмотрим линейное неоднородное уравнение (1) Для решения линейного неоднородного дифференциального уравнения необходимо найти общее решение соответствующего однородного уравнения и каким- то образом отыскать одно частное решение неоднородного уравнения. Обычно оно находится подбором. На практике удобно применять метод вариации произвольных постоянных (метод Лагранжа). Для этого сначала находят общее решение соответствующего однородного уравнения в виде: Затем, полагая коэффициенты функциями от х, ищется решение неоднородного уравнения (2) Находим производные : Подберем функции так, чтобы Тогда Найденные значения подставляем в уравнение (1). Получим:
или же
Так как и - решения уравнения (1), то выражения в квадратных скобках равны нулю. Таким образом, для нахождения функций надо решить систему уравнений:
Решая эту систему, получим , где - известные функции. Интегрируя, найдем . Найденные значения подставляем в равенство (2) и получим искомое частное решение.
Решите уравнение Решаем линейное однородное уравнение . Уравнение не содержит , поэтому замена .
Решение неоднородного уравнения будет иметь вид:
.
Составляем систему уравнений:
Метод неопределенных коэффициентов для линейного неоднородного уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Напишите вид частного решения уравнения Неопределенные коэффициенты искать не надо.
Опр. Линейным неоднородным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение все члены которого первой степени относительно функции и ее производных, а коэффициенты - постоянные.
Для решения линейного неоднородного дифференциального уравнения необходимо найти общее решение соответствующего однородного уравнения и каким- то образом отыскать одно частное решение неоднородного уравнения. Обычно оно находится подбором. Существует более простой способ нахождения частного решения, в зависимости от вида правой части неоднородного уравнения (метод неопределенных коэффициентов).
Различают следующие случаи:
Правая часть линейного неоднородного ДУ имеет вид:
где - многочлен степени n.
Тогда частное решение ищется в виде: . Здесь Qn(x)- многочлен той же степени, что и Pn(x), но с неопределенными коэффициентами, а r – число, показывающее сколько раз число a является корнем характеристического уравнения для соответствующего линейного однородного дифференциального уравнения.
Правая часть линейного неоднородного дифференциального уравнения имеет вид:
Здесь Р1(х) и Р2(х) – многочлены степени m1 и m2 соответственно.
Тогда частное решение неоднородного уравнения будет иметь вид:
где число r показывает сколько раз число является корнем характеристического уравнения для соответствующего однородного уравнения, а Q1(x) и Q2(x) – многочлены степени не выше m, где m- большая из степеней m1 и m2.
Если правая часть уравнения является комбинацией выражений рассмотренного выше вида, то решение находится как комбинация решений вспомогательных уравнений, каждое из которых имеет правую часть, соответствующую выражению, входящему в комбинацию.
Написать вид частного решения уравнения Неопределенные коэффициенты искать не надо. Решим соответствующее однородное уравнение: , . Теперь найдем частное решение исходного неоднородного уравнения. Сопоставим правую часть уравнения с видом правой части, рассмотренным выше. Тогда частное решение ищется в виде: . Т.е.