Модуль 2 статистичний аналіз рядів розподілу Тема 5 аналіз рядів розподілу
У статистиці для аналізу рядів розподілу розраховують також структурні середні: моду та медіану.
Мода (Мо) ― це варіанта, яка має найбільшу частоту.
Для інтервальних рядів розподілу мода розраховується за формулою:
,
де m0 ― модальний інтервал;
― ширина
модального інтервалу;
― нижча межа модального інтервалу.
Медіана (Ме) ― це варіанта, яка знаходиться в середині варіаційного ряду.
,
де me ― медіанний інтервал;
― кумулятивна
частота інтервалу, що передує модальному.
Наприклад, маємо дані про розподіл підприємств за обсягом виробництва
Обсяги виробництва , тис. грн. |
до 60 |
60 - 90 |
90 - 120 |
120 - 150 |
150 - 180 |
180 - 210 |
більше 210 |
Усього |
Число підприємств |
12 |
18 |
20 |
40 |
15 |
35 |
7 |
147 |
Розрахуємо середній розмір обсягу виробництва двома способами, моду та медіану.
тис.грн.
А = 135; d = 30
тис.
грн.
Модальний
інтервал буде складати від 120 до 150, тому
що йому притаманна найбільша частота
(
).
тис.
грн.
Номер медіани буде складати: .
Побудуємо ряд кумулятивних частот (S):
S 12 30 50 90 105 140 147.
У
цьому ряді
=
73,5 і знаходиться в групі від 120 до 150 (
= 90 і вона включає 73,5).
тис.
грн.
Для вимірювання рівня відхилень окремих значень ознаки від середньої величини розраховують наступні показники варіації:
а) середнє лінійне відхилення
;
б) дисперсію
;
спосіб
“моментів”:
,
де
;
в) середньоквадратичне відхилення
;
г) коефіцієнт варіації
.
Розраховують також:
а) групову дисперсію
,
де і ― номер групи;
б) середню з групових дисперсій
;
в) міжгрупову дисперсію
.
Правило додавання дисперсій:
.
Наприклад, використовуючи дані прикладу з теми 5, розрахувати дисперсію двома способами, коефіцієнт варіації та зробити висновки.
тис.
грн.
.
.
.
Таким чином, отримали, що відхилення кожного значення ознаки від середньої величини складає 50,5 тис. грн., а коефіцієнт варіації перевищує 33%,
Таким чином, отримали, що середній розмір виробництва для всіх підприємств складає 137,9 тис. грн. (це показали обидва способи). Мода означає, що найбільш розповсюдженим є обсяг виробництва в розмірі 133,3 тис. грн. Медіана означає, що половина підприємств виробляє продукцію у розмірі до 127,8 тис. грн., а друга половина ― більше цієї суми.
Задача 1
Маємо розподіл міжміських телефонних розмов за їх тривалістю
Таблиця 5.1
Тривалість розмов, хв. |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
Кількість розмов |
76 |
83 |
90 |
98 |
63 |
40 |
21 |
8 |
Визначте моду та медіану, середню тривалість однієї розмови. Проаналізуйте результати розрахунків.
Задача 2
Робітники підприємства згуртовані за віковими категоріями
Таблиця 5.2
Вік, роки |
До 20 |
20 -30 |
30 - 40 |
40 - 50 |
Більше 50 |
Всього |
Кількість робітників |
54 |
286 |
432 |
116 |
24 |
912 |
Визначте середній вік робітників, моду та медіану. Зробіть висновки.
Задача 3
Маємо дані про розподіл робітників за рівнем заробітної плати (табл. 5.3).
Таблиця 5. 3
Групування робітників за розміром заробітної плати на одного робітника, грн. |
Кількість робітників |
До 930 |
10 |
930 – 950 |
180 |
950 – 970 |
152 |
970 – 990 |
125 |
Більше 990 |
35 |
Усього |
502 |
Визначте середній розмір заробітної плати звичайним способом та способом “моментів”, а також моду та медіану. Порівняйте визначені показники.
Визначте середнє лінійне відхилення, дисперсію та середнє квадратичне відхилення двома способами, коефіцієнти варіації. Побудуйте полігон та гістограму розподілу робітників. Зробіть висновки.
Задача 4
Маємо розподіл заводів за вартістю основних фондів
Вартість основних фондів, млн. грн. |
До 1,5 |
1,5 - 2,5 |
2,5 - 3,5 |
3,5 - 4,5 |
Більше 4,5 |
Всього |
Кількість підприємств |
21 |
60 |
31 |
18 |
10 |
140 |
Визначте середню вартість основних фондів для всіх підприємств, абсолютні та відносні показники варіації, оцініть однорідність сукупності. Проаналізуйте результати розрахунків.
Задача 5
Маємо дані про розподіл робітників за стажем роботи (табл. 5.4).
Таблиця 5.4
Стаж роботи, роки |
Кількість робітників у цехах |
|||
М –1 |
М – 2 |
М – 3 |
Всього |
|
До 5 |
25 |
50 |
15 |
90 |
5 – 10 |
62 |
108 |
60 |
230 |
10 – 15 |
73 |
145 |
102 |
320 |
15 – 20 |
30 |
72 |
53 |
155 |
Більше 20 |
10 |
25 |
20 |
55 |
Всього |
200 |
400 |
250 |
850 |
Визначте середній стаж робітника кожного цеху та всього колективу робітників; загальну дисперсію (для всього колективу); внутрішньогрупову дисперсію (для кожного цеху); середню з групових дисперсій, міжгрупову дисперсію. Перевірте правило складання дисперсій. Визначте емпіричне кореляційне відношення, зробіть висновки.
Задача 6
Маємо дані про розподіл робітників за процентом браку, який можливо допустити у виробництві (табл. 5.5).
Таблиця 5.5
Процент браку |
Кількість робітників |
Середній процент браку на одного робітника |
Середній квадратичний відхил |
До 1 |
7 |
0,8 |
0,67 |
1 – 3 |
20 |
2,3 |
0,65 |
3 – 5 |
15 |
3,7 |
0,51 |
5 – 7 |
5 |
5,9 |
0,48 |
Більше 7 |
3 |
7,8 |
0,82 |
Всього |
50 |
|
|
Визначте загальну дисперсію за розглянутим питанням, використовуючи правило складання дисперсій.
Задача 7
Доля невстигаючих студентів за загальною теорією статистики на другому курсі склала 2%. Визначте дисперсію долі невстигаючих студентів.
Задача 8
На підприємстві вся готова продукція дорівнює 1500 шт. З них 90 ― з браком.
Визначити дисперсію долі бракованої продукції.
Задача 9
Споживання природного газу у житловому секторі за рік характеризуються даними (табл.5.6).
Таблиця 5.6
Категорія житла |
Чисельність споживачів, тис. осіб |
Середньорічне споживання газу в розрахунку на 1 споживача, м3 |
Квартира з газовою плитою |
40 |
250 |
Квартира з газовою плитою та колонкою |
10 |
400 |
В цілому |
50 |
- |
Визначте міжгрупову та середню з групових дисперсій споживання газу, якщо відомо, що загальна дисперсія дорівнює 4800.
Задача 10
Питома вага відмінників на факультеті складає 15 %. Визначте дисперсію частки студентів – відмінників.
Задача 11
Частка високоліквідних активів у сумі поточних активів комерційних банків на початок року становила 31 %. Визначте дисперсію частки високоліквідних активів.
Задача 12
За даними обстеження комерційних банків міста, 70% загального числа клієнтів складають юридичні особи із середнім розміром кредиту 120 тис. грн та коефіцієнтом варіації 25%, а 20% - фізичні особи із середнім розміром кредиту 20 тис. грн при середньоквадратичному відхиленні 6 тис. грн. Використовуючи правило складання дисперсій, визначте тісноту зв’язку між розміром кредиту та типом клієнта.