Тема 11 ВибірковИй метод

Метою вибіркового спостереження є визначення характеристик генеральної сукупності ― генеральної середньої ( ) та генеральної долі (р).

Характеристики вибіркової сукупності ― вибіркова середня ( ) та вибіркова доля (W) відрізняються від генеральних характеристик на величину граничної помилки вибірки (Δх або Δр).

Середня помилка вибірки:

― для вибіркової сукупності,

― для долі,

де n ― обсяг вибірки;

N ― обсяг генеральної сукупності.

Гранична помилка вибірки:

; ,

де t ― коефіцієнт довіри, який залежить від імовірності.

Якщо ρ = 0,663, то t = 1,

ρ = 0,954, то t = 2,

ρ = 0,997, то t = 3,

Межі розповсюдження ознаки:

або

.

Наприклад, для визначення середнього строку споживання кредиту у банку була проведена 5% вибірка, яка становила 100 рахунків. У результаті дослідження встановлено, що середній строк користування кредитом ― 30 днів при середньоквадратичному відхиленні 9 днів. У п’яти рахунках строк користування кредитом перевищував 60 днів. З імовірністю 0,954 визначити межі, в яких будуть знаходитись строк користування кредитом в генеральній сукупності та доля рахунків зі строком користування кредитом більше ніж 60 днів.

Рішення

Середній строк користування кредитом у банку знаходиться у межах:

.

Гранична помилка вибірки:

дні.

Таким чином, з імовірністю 0,954 можна стверджувати, що доля кредитів у банку зі строком користування більш ніж 60 днів буде знаходитися у межах р = 5% ± 4,2%, або 0,8 ≤ р ≤ 9,2.

Задача 1

З 2500 деталей за допомогою механічної вибірки відібрано 500 шт. для встановлення середньої ваги деталі. Результати отримано такі: середня вага деталі ― 440г, середнє квадратичне відхилення ― 7г.

З імовірністю 0,997 визначте помилку вибірки та можливі межі, в яких може знаходитися середня вага деталі, для всієї партії.

Задача 2

З партії виробів 40000 шт. було відібрано 2000 шт., серед яких ― 1900 виробів прийнято стандартами з першої подачі.

З імовірністю 0,997 визначте, в яких межах може знаходитися процент продукції, прийнятої з першої подачі, в усій партії виробів.

Задача 3

У результаті 10% вибіркового обстеження робітників за стажем трудової діяльності маємо дані:

Стаж роботи, роки	До 4	4 – 8	8 – 21	Більше 12	Усього
Кількість робітників	14	20	40	26	100

Визначте середню помилку вибірки з імовірністю 0,997; межі середнього стажу робітників; долю робітників з трудовим стажем більше 8 років; з імовірністю 0,954 ― межі долі робітників зі стажем 8 років та більше в генеральній сукупності. Зробіть висновки.

Задача 4

В регіоні з 200 комерційних банків у порядку випадкової безповторної вибірки обстежено 50 банків, які за відсотком високоліквідних активів розподілилися таким чином:

Відсоток високоліквідних активів	до 10	10-15	15-20	20-25	понад 25
Кількість банків	5	12	44	26	13

З імовірністю 0,997 визначте межі середнього відсотка високоліквідних активів серед 200 банків регіону; з імовірністю 0,954 – межі для частки банків, у яких відсоток високоліквідних активів складає понад 15 %. Зробіть висновки.

Задача 5

Підприємство має 1000 робітників-відрядників. З них, використовуючи випадкову вибірку, обстежено 100 чоловік, які за рівнем змінної виробки розподілилися так, як вказано в табл. 11.1.

Таблиця 11. 1

Витрати часу на обробку однієї деталі, хв.	Кількість робітників
1	2
18 – 24	10
24 – 30	30
30 – 36	40
36 – 42	20
Всього	100

Визначте:

1) середню дану виробку одного робітника;

2) середню та граничну помилку вибірки з можливістю 0,954;

3) імовірність того, що середня денна виробка робітника буде відхилена в той чи інший бік не більш як на 0,6 грн;

4) обсяг вибірки, щоб з імовірністю 0,954 гранична помилка вибірки при визначенні середньої виробки не перевищувала 0,5 грн;

5) долю робітників підприємства з денною виробкою 30 грн та більше з імовірністю 0,954;

6) імовірність того, що в цілому по підприємству для робітників з денною виробкою 30 грн помилка буде відхилятися від вибіркової долі не більше як на 2%.

Зробіть висновки.

Задача 6

У порядку механічної вибірки серед 200 робітників банку намагаємося визначити долю тих, у кого стаж більше 20 років. Яка повинна бути чисельність вибірки, щоб з імовірністю 0,997 помилка вибірки не перевищувала 0,02, якщо попереднім дослідженням встановлено, що дисперсія дорівнює 0,2?

Задача 7

У штампувальному цеху працює 500 робітників, 400 з них мають високу кваліфікацію. З метою вивчення продуктивності праці вважається доцільним проведення типової вибірки. Скільки робітників треба відібрати, щоб з імовірністю 0,997 помилка вибірки не перевищувала 8 при σ = 25?

За даними вибіркового обстеження 64 підприємств малого бізнесу, середня окупність витрат становить 27 % при середньому квадратичному відхиленні - 7,2 %. Визначте граничну помилку вибірки та межі, в яких знаходиться середній рівень окупності витрат з імовірністю 0,997. Зробіть висновок.

Задача 8

За даними вибіркового опитування, 45 % респондентів вважають рекламу основним джерелом інформації про товарний ринок. Стандартна помилка вибірки цього показника – 2,6 %. З імовірністю 0,954 визначте межі користувачів рекламою. Зробіть висновок.

Задача 9

У контракті між виробником й замовником продукції обумовлено, що замовник може відмовитись від контракту і всі збитки покриваються за рахунок виробника, якщо частка нестандартної продукції перевищує 5 %. В результаті перевірки партії продукції із 300 одиниць виявлено, що 16 одиниць мають брак. Чи є підстава замовнику розірвати контракт?

Задача 10

Для виявлення розміру наданих кредитів державні й комерційні банки регіону провели 5 % типову вибірку з добором одиниць пропорційно чисельності типових груп (у середині груп використовувався метод випадкового безповторного добору). Результати обстеження подано в табличному вигляді (табл. 11.2).

Таблиця 11.2

Типи банків	Кількість наданих кредитів, тис. грн.	Середній розмір кредиту, тис. грн.	Середнє квадратичне відхилення
Державні	1850	16,8	4
Комерційні	3090	31,0	6

Визначте: з імовірністю 0,997 інтервал, в якому знаходиться середній розмір наданих кредитів усіма банками регіону; необхідний обсяг вибірки при визначенні середнього розміру наданих кредитів, щоб з імовірністю 0,954 гранична похибка вибірки була не більше 0,3 млн. грн.

Задача 11

За даними попередніх вибіркових обстежень серед 200 зразків виробів, 3 зразки виявлено нестандартними. Скільки треба провести перевірок, щоб гранична похибка вибірки частки нестандартних зразків з імовірністю 0,954 не перевищила 2 % ?

Задача 12

За результатами одноразового опитування мешканців міста про доцільність відкриття курсів “бізнес – леді” таку ідею підтримують 80 жінок із 125 та 55 чоловіків із 100. Перевірте гіпотезу про те, що розбіжності у ставленні чоловіків та жінок до ідеї відкриття курсів “бізнес – леді” мають випадковий характер. Сформулюйте альтернативну гіпотезу і за допомогою t – критерію Стюдента зробіть висновок з імовірністю 0,95.

Задача 13

З метою перевірки ефективності нового пристрою для вдосконалення технології обробки деталей робітників бригади розділили на дві групи: на верстатах з новим пристроєм працювало 4 робітники, за традиційною технологією обробки деталей – 6. Результати експерименту такі: у І групі середній виробіток за годину становить 84 деталі при Ĝ²=10, у ІІ – 77 деталей при Ĝ²=8.

Сформулюйте нульову та альтернативну гіпотези. За допомогою t – критерію Стюдента, зробіть висновок, чи дійсно нова технологія впливає на продуктивність праці.