7. Дробный факторный эксперимент. Матрица планирования, основные
свойства. Обработка результатов и получение уравнения регрессии.
Основной недостаток ПФЭ – это большое количество опытов.
ДФЭ – называется эксперимент реализующий часть (дробную реплику) ПФЭ типа 2n
Так, для решения трехфакторной задачи можно ограничиться тремя опытами. Для этого в планировании типа 2n произведение х1х2 достаточно приравнять к третьей независимой переменной х3.
N |
Х0 |
Х1 |
Х2 |
Х3=X1X2 |
у’к |
1 |
+ |
- |
- |
+ |
у’1 |
2 |
+ |
+ |
- |
- |
у’2 |
3 |
+ |
- |
+ |
- |
у’3 |
4 |
+ |
+ |
+ |
+ |
у’4 |
b0 b1 b2 b3
y = b0 + b1x1+b2x2+b3x3
При ДФЭ мы не можем получить раздельных совершенно независимых коэф. Ур. Регрессии. Применение ДФЭ всегда связанно со смешиванием оценок, т.е. совместной оценкой нескольких генеральных коэф. Ур. Регр.
b1→β1+ β23
b2→β2+ β13
b3→β3+ β12
Однако если матрицу дополнить по ПФЭ то можно получить все оценки раздельно.
8. Проверка адекватности полученной математической модели. Принятие
решений при неадекватной модели.
При m-повторных опытах адекватность модели проверяется обычным путем по F-критерию Фишера. Если Fрасч<Fтабл, то модель адекватна.
Если модель не адекватна, то возможны следующие решения:
- включение в модель эффектов взаимодействия
- ДФЭ достройка плана до ПФЭ
- изменение центра плана и интервала варьирования.
9. Методы поиска экстремума параметра оптимизации. Метод Гаусса -
Зейделя.
При оптимизации по методу Гаусса-Зейделя последовательное продвижение к экстремуму осуществляется путем поочередного варьирования каждым фактором до достижения частного экстремума выходной величины.
Рассмотрим сущность данного метода на примере двухфакторной задачи.
где
– линии равного отклика;
–
точка
частного экстремума;
– влияющие
факторы;
-
шаг варьирования.
Рисунок 2.1 – Оптимизация по методу Гаусса-Зейделя
Сначала последовательно изменяем фактор х1 до нахождения первого локального экстремума. Потом изменяем фактор х2 х1 до нахождения первого локального экстремума. Затем меняем шаг варьирования и дальше движемся к экстремуму меняя последовательно факторы х1 и х2, только уже с меньшим шагом. Приближение происходит до тех пор, пока мы не начнем вращаться в области экстремума, т.е. изменение фактора не будет приносить изменения функции.
10. Метод поиска экстремума по Боксу - Уилсону.
Этот метод применяется чаще остальных. Он объединяет характерные элементы метода Гаусса-Зейделя и метода градиента. При этом пробные эксперименты проводятся по методам ПФЭ и ДФЭ. Здесь шаговое движение к экстремуму из точки xn совершается в направлении наибольшего изменения выхода у, т.е. по градиенту grad y(xn). Однако в отличие от градиентного метода, корректировка направления движения производится не после каждого последующего шага, а после достижения частного экстремума целевой функции, аналогично методу Гаусса-Зейделя.
Важной особенностью метода является регулярность анализа промежуточных пробных опытов на пути к экстремуму.
Проводится в следующей последовательности:
Проводится ПФЭ или ДФЭ
Выбирается базовый фактор из следующих соображений. Если поверхность отклика локально может быть описана линейным уравнением, то частные производные, входящие в градиент, равны коэффициентам регрессии.
Для базового фактора выбирают шаг варьирования.
Определяются шаги варьирования при крутом восхождении по остальным переменным
Проводятся «мысленные опыты». Они заключаются в вычислении «предсказанных» значений выхода у в определенных точках х факторного пространства , лежащих на пути к экстремуму.
Реализация мысленных опытов.
Приближаясь к экстремуму, в каждом новом цикле крутого восхождения, рекомендуется выбирать шаг варьирования для серии опытов равным или меньшим, чем в предыдущем цикле. Эксперимент прекращается когда все или почти все коэффициенты линейного уравнения регрессии будут близкими или равны нулю. Это говорит о входе в область экстремума целевой функции