10. Теорема о циркуляции индукции магнитного поля и ее применение для расчета магнитных полей.

Циркуляцией вектора по заданному замкнутому контуру L называется следующий интеграл по замкнутому контуру: , где - элемент длины контура, направленный

вдоль обхода контура, , где – составляющая вектора в направлении касательной к контуру, с учетом выбранного направления обхода; – угол между векторами и .

Т еорема о циркуляции вектора (закон полного магнитного поля в вакууме): циркуляция вектора по произвольному замкнутому контуру равна произведению магнитной постоянной на алгебраическую сумму токов, охватываемых этим контуром.

Где N – число проводников с токами, охватываемых контуром L произвольной формы. Эта теорема справедлива только для поля в вакууме, поскольку для поля в веществе надо учитывать молекулярные токи. Каждый ток учитывается столько раз, сколько он охватывается контуром. Положительным считается ток, направление которого связано с направлением обхода по контуру правилом правого винта.

Пример1. Магнитное поле бесконечного, прямого проводника с током.

Н аправление вектора выбрано в соответствии с теоремой Био-Савара-Лапласа.

Система осесимметрична (осью является проводник).

Замкнутый контур представим в виде окружности радиуса r. В каждой точке этой окружности вектор одинаков по модулю и направлен по касательной к окружности.

, отсюда

Пример2. Магнитное поле бесконечного соленоида с током.

1 )

0

2 )

Сравним выражения для циркуляций векторов и . ,

Принципиальное различие между этими формулами в том, что циркуляция вектора электростатического поля всегда равна нулю. Такое поле является потенциальным. Циркуляция вектора магнитного поля не равна нулю. Такое поле называется вихревым или соленоидальным.

11. Энергия системы проводников с током. Энергия магнитного поля.

Энергия магнитного поля

R

Замкнем неподвижную цепь, содержащую индуктивность L, и сопротивление R на источник тока ЭДС . В контуре начнет возрастать ток. Это приводит к появлению ЭДС самоиндукции . Согласно закону Ома RI = + , откуда = RI - . Найдем элементарную работу, которую совершают сторонние силы за время dt. Для этого умножим предыдущее равенство на Idt:

Учитывая смысл каждого слагаемого и соотношение , запишем

В процессе установления тока, когда поток Ф меняется и dФ >0 (если I>0), работа, которую совершает источник , оказывается больше выделяемой в цепи джоулевой теплоте. Часть этой работы (дополнительная работа) совершается против ЭДС самоиндукции. После того, как ток установится, dФ=0 и вся работа источника будет идти только на выделение джоулевой теплоты.

Это соотношение имеет общий характер. Оно справедливо и при наличии ферромагнетиков. Далее будем считать, что ферромагнетики отсутствуют. Тогда и

Проинтегрировав последнее уравнение, получим .

Получили, что часть работы сторонних сил идет на увеличение внутренней энергии проводников, а другая часть на магнитное поле. Таким образом, при отсутствии ферромагнетиков, контур с индуктивностью L, по которому течет ток I, обладает энергией, за счет которой и совершается работа.

Полученную энергию можно выразить непосредственно через магнитную индукцию В.

Подставляя в последнюю формулу выражения ; , получим

. Таким образом, зная плотность энергии поля в каждой точке, можно найти энергию поля, заключенную в любом объеме :

В случае N связанных друг с другом контуров получается выражение: , где - взаимная индуктивность -го и -го контуров, а - индуктивность -го контура.