Прибавим ко второму уравнению первое, умноженное на 4:

x + y – 6 = 0,

10y – 10 = 0.

Отсюда y = 1, x = 5, O(5, 1).

Радиус равен расстоянию от точки О до любой из вершин треугольника. Находим:

R =AD;\s\up10( –(= = .

Значит уравнение окружности:

(x – 5)² + (y –1)² = 65.

2 . Прежде, чем решать задачу, следует повторить параграф «Полярные координаты».

B(6, ), C(4, ).

Решение. Нарисуем чертеж к задаче, построив точки B и C по их полярным координатам. Из чертежа и геометрического смысла полярных координат находим, что

AB = 6, AC = 4, BAC = |₂  ₁| = – = .

Тогда

S_ΔABC = ABACsinBAC = 64sin = 12 = 6.

По теореме косинусов

BC² = AB² + AC² – 2ABACcosBAC = 36 + 16 – 264(– ) = 76,

BC = = 2.

3. Прежде, чем решать эту задачу, следует повторить параграф «Взаимное расположение прямых на плоскости».

а). l₁: 2x + y + 5 = 0, l₂: x  7y +11 = 0.

Решение. Если прямые l₁ и l₂ заданы своими общими уравнениями

a₁x + b₁ y + d₁ = 0, a₂x + b₂ y + d₂ = 0,

то

l₁ l₂  =  ; l₁ = l₂  = = .

В нашем случае  , поэтому прямые не параллельны и не совпадают. Значит, они пересекаются. Угол между прямыми вычисляется по формуле cos  = , где n1;\s\up8(( и n2;\s\up8(( – векторы нормали к этим прямым. В нашем случае

n1;\s\up8(( (2, 1), n2;\s\up8(( (5, 7), n1;\s\up8(( · n2;\s\up8(( = 2·5  1· 7 = 5;

| n1;\s\up8(( | = = , | n2;\s\up8(( | = = 5 .

Значит, cos  = = .

Ответ:  = arccos .

б ) ₁: x – 2y + 8 = 0,

₂: 2x – 2y –15 = 0.

Решение. Проверяем прямые на параллельность или совпадение:

= 

Значит, ₁ ₂. Расстояние между прямыми есть длина их общего перпендикуляра. Расстояние от точки A(x, y) до прямой, заданной уравнением ax + by + c = 0, находится по формуле

h = .

Выберем точку Аl₁. Для этого надо подобрать любые три координаты, удовлетворяющие уравнению l₁. В нашем случае, самый простой выбор: A(0, 4). Расстояние от A до l₂ и будет расстоянием между l₁ и l₂:

h = = .

4. Прежде, чем решать задачу, следует повторить параграфы «Скалярное произведение», «Векторное произведение» «Формулы для вычисления скалярного и векторного произведений в декартовых координатах», «Смешанное произведение».

A(4, 0, 1), B(5,–1, 1), C(4, 7,–5), S(7, 5, 2).

Решение. Находим координаты трех векторов, лежащих на ребрах пирамиды и исходящих из одной вершины:

AB;\s\up10( –((1,–1, 0), AC;\s\up10( –((0, 7,– 6), AS;\s\up10( –((3, 5, 1).

Модуль смешанного произведения этих векторов равен объему параллелепипеда, построенного на этих векторах. Объем же пирамиды составляет 1/6 от объема параллелепипеда:

V = AB;\s\up10( –(·AC;\s\up10( –(·AS;\s\up10( –(.

Смешанное произведение можно вычислить так:

AB;\s\up10( –(·AC;\s\up10( –(·AS;\s\up10( –( = .

Для вычисления площади основания нам понадобится векторное произведение AB;\s\up10( –(AC;\s\up10( –(. Поэтому проще воспользоваться определением смешанного произведения: AB;\s\up10( –(·AC;\s\up10( –(·AS;\s\up10( –( = (AB;\s\up10( –(AC;\s\up10( –()·AS;\s\up10( –( . При этом, вероятность арифметической ошибки будет намного меньше. Рекомендуем для проверки правильности вычислений использовать оба способа.

AB;\s\up10( –(AC;\s\up10( –( = = i – j + k = 6i + 6j + 7k.

S_ΔABC = AB;\s\up10( –(AC;\s\up10( –(= = .

(AB;\s\up10( –(AC;\s\up10( –()·AS;\s\up10( –( = 63 + 65 + 71 = 55. V = (AB;\s\up10( –(AC;\s\up10( –()·AS;\s\up10( –(= .

C другой стороны, V = S_ΔABC ·h . Отсюда h = = = 5 .

Согласно определению векторного произведения вектор a;\s\up8((  b;\s\up9(( перпендикулярен a;\s\up8(( и b;\s\up9((. Поэтому вектор h;\s\up9(( = AB;\s\up10( –(AC;\s\up10( –( будет перпендикулярен основанию пирамиды; h;\s\up9(( (6, 6, 7).

Угол между векторами a;\s\up8(((a₁, a₂, a₃) и b;\s\up9(((b₁, b₂, b₃) ищется по формуле

cos(a;\s\up8((, b;\s\up9(( ) = = .

Угол BAC  это есть угол между векторами AB;\s\up10( –((1,–1, 0) и AC;\s\up10( –((0, 7,– 6). Поэтому

cosBAC = = = .

BAC = arccos =   arccos

Построим изображение данной пирамиды в декартовой системе координат Оxyz.

Мы уже знаем вектор нормали к плоскости основания: h;\s\up9(( (6, 6, 7). Поэтому уравнение плоскости можно составить так же, как в следующей задаче. Но желательно продемонстрировать знание ещё одного способа составления уравнения плоскости. Плоскость, проходящая через точку A(x_o, y_o, z_o), параллельно двум данным векторам a;\s\up8(((a₁, a₂, a₃), b;\s\up9(((b₁, b₂, b₃) задаётся уравнением

x – x_o y – y_o z – z_o

a₁ a₂ a₃ = 0.

b₁ b₂ b₃

Подставляем в это уравнение координаты точки A и векторов AB;\s\up10( –(, AC;\s\up10( –(:

x  4 y + 0 z – 1

1 1 0 = 0.

0 7 6

Раскрываем определитель по первой строке:

6(x  4) + 6y + 7(z – 1) = 0  6x + 6y + 7z – 31 = 0.

Желательно сделать проверку, подставив в это уравнение координаты точек A, B, C.

5. Прежде, чем решать эту задачу, следует повторить параграфы «Уравнение плоскости», «Уравнение прямой в пространстве».

A (9, 5, 1), B(–3, 8, 4), C(9,–13,–8).

Решение. Пусть π – это плоскость, которая проходит через точку A перпендикулярно стороне BC. Тогда этой плоскости принадлежит высота AD. Поэтому точку можно найти так: D = π  BC.

Для плоскости π вектор BC;\s\up10( –( служит вектором нормали. Находим

BC;\s\up10( –((12,–21,–12). Координаты этого вектора нацело делятся на 3. Поэтому в качестве вектора нормали к  можем взять n;\s\up8(( = BC;\s\up10( –(, n;\s\up8(((4,–7,– 4). Уравнение плоскости π, проходящей через точку A_o(x_o, y_o, z_o) перпендикулярно вектору n;\s\up8(((a, b, c), имеет вид:

a(x – x_o) + b(y – y_o) + c(z – z_o) = 0.

В нашем случае:

4(x – 9)  7(y – 5)  4(z – 1) = 0,

4x  7y  4z + 3 = 0.

Составим уравнение прямой BC. Для нее вектор n;\s\up8(( будет направляющим:

x = –3 + 4t,

BC: y = 8 – 7t,

z = 4 – 4t,

Поскольку D = π  BC, для нахождения координат точки D нужно решить совместно уравнения π и BC. Подставляем из уравнения BC в уравнение π:

4(–3 + 4t ) – 7(8 – 7t ) – 4(4 – 4t ) + 3 = 0,

–12 + 16 t – 56 + 49t – 16 + 16 t + 3 = 0,

81t = 81, t = 1.

Подставляем это t в уравнение прямой BC и находим D(1, 1, 0). Далее вычисляем по формуле расстояния между точками:

h = = 9.

Далее, S_ΔABC = ^ AB;\s\up10( –(AC;\s\up10( –( ^ ; сначала находим сам вектор AB;\s\up10( –(AC;\s\up10( –(, а потом его модуль.

i j k i j k

AB;\s\up10( –(AC;\s\up10( –( = –12 3 3 = –27· – 4 1 1 = –27(–i + 4j – 8k) .

0 –18 –9 0 2 1

(В процессе вычисления мы воспользовались свойством определителя: общий множитель элементов одной строки можно выносить за знак определителя).

S_ΔABC = · 27 = .

Имеем S_ΔABC = ^BC;\s\up10( –( ^·h. Отсюда h = . Находим

^BC;\s\up10( –( ^{ =} = 3 = 27.

Поэтому h = 9. Это совпадает с ранее найденным ответом.

5*. Точку D можно найти, как ближайшую к A точку прямой BC, используя методы дифференциального исчисления. Пусть M(t) – произвольная точка прямой BC; её координаты определяются системой (_*):

M(–3 + 4t, 8 – 7t, 4 – 4t).

Находим квадрат расстояние от точки A до M(t):

h²(t) = (9 + 3 – 4t)² + (5 – 8 + 7t)² + (1 – 4 + 4t)²

= (12 – 4t)² + (–3 + 7t)² + (–3 + 4t)² =

= 144 – 96t + 16t² + 9 – 42t + 49t² + 9 – 24t + 16t² =

= 81t² – 162t + 162.

Найдем наименьшее значение функции h²(t) с помощью производной:

h²(t) = 162t – 162; h²(t) = 0  t = 1.

Подставляем это значение t в уравнение прямой BC и находим, что D(1, 1, 0) является ближайшей к A точкой на прямой BC.