- •Характерные особенности задач принятия решений
- •1.3. Процесс принятия решений
- •1. Математическая модель задачи принятия решений.
- •1.1. Основные понятия
- •1.2. Содержание задачи
- •2. Предпочтение и полезность
- •2.1. Основные положения
- •Если же в качестве основного бинарного отношения берется , то отношение безразличия и отношение нестрогого предпочтения определяются на основе как
- •Полезность.
- •Линейная функция полезности
- •Аксиомы для линейной функции полезности
- •Аксиомы тпр
- •4.Теория рационального поведения
- •4.1. Проблемы рационального выбора
- •4.2. Аксиомы рационального поведения
- •4.3. Парадоксы выбора
- •6. Эвристики нерационального поведения
- •3. Оценка полезности
- •3.1. Предварительные процедуры для фактической оценки полезности
- •3.2. Определение соответствующих качественных параметров
- •3.3. Формирование количественных ограничений
- •3.4. Выбор функции полезности
- •3.5. Проверка на согласованность.
- •Оценочная функция
- •Принятие решений в условиях риска - Критерий Байеса-Лапласа (бл)
- •Критерий Гурвица
- •1. Числовая форма представления неопределенности суждений
- •1.1. Вероятность, основанная на физических явлениях
- •1.2. Вероятность, основанная на имеющихся данных и результатах моделирования
- •1.3. Определение вероятности одиночного события
- •1.4. Оценочные суждения о распределении вероятностей
- •1.5. Практические соображения при оценке экспертных вероятностей
- •Многофакторная теория полезности
- •Аддитивные функции полезности.
- •Условие независимости
- •Аксиоматическое обоснование
- •Разброс оценок вариантов постройки аэропорта
- •Проверка условия независимости по предпочтению
2. Предпочтение и полезность
2.1. Основные положения
Под системой предпочтения ЛПР понимается совокупность его представлений о преимуществах и недостатках сравниваемых решений.
Решающее правило r (метод принятия решения) отражает информированность ЛПР о возможных исходах выбранных решений, а также предпочтительность тех или иных исходов. Решающее правило может быть заданно в виде аналитического выражения, алгоритма или словесной формулировки.
Фундаментальным понятием теории предпочтений является бинарное отношение, поэтому необходимо изложить некоторые положения теории бинарных отношений.
Бинарное отношения R на непустом множестве X есть подмножество множества всех упорядоченных пар элементов из X; множество всех упорядоченных пар задается прямым произведением . Запись xRy (читается: x находится в отношении R к y) означает, что (x,y) принадлежит R; аналогично не xRy (записывается как ) означает, что (x,y) не принадлежит R, или что x не находится в отношении R к y.
Ниже указаны восемь возможных свойств бинарных отношений, разделенных на четыре группы. Во всех определениях предполагается, что х, у и z являются элементами множества X. Бинарное отношение R на множестве Х является:
1) рефлексивным, если xRx для каждого ; нерефлексивным, если для каждого ;
2) симметричным, если из xRy следует yRx; асимметричным, если из xRy следует ;
3) транзитивным, если из xRy и yRz следует xRz; отрицательно транзитивным, если из и следует ;
4) связным, если xRy или yRx; слабосвязным, если из следует xRy или yRx.
Пусть X — множество всех живых людей. Тогда отношение «выше, чем» является нерефлексивным, асимметричным, транзитивным и отрицательно транзитивным; отношение «ему (ей) столько же лет, как и» рефлексивно, транзитивно, отрицательно транзитивно и связно; отношение «является сестрой» (по крайней мере один из родителей общий) симметрично (но почему не транзитивно?); отношение «знаю имя», используемое при исследованиях пациентов с потерей памяти, не удовлетворяет ни одному из перечисленных свойств.
Предпочтение и безразличие
В теории предпочтений используются два основных бинарных отношения на множестве X. Во-первых, отношение нестрогого предпочтения >; запись х > у читается следующим образом: «х либо предпочтительнее, чем у, либо безразличен к у». Чаще пользуются формулировкой: «г/ не предпочтительнее, чем х». Во-вторых, применяется отношение предпочтения ; запись х у читается так: «х предпочтительнее, чем у». Отношение нестрогого предпочтения чаще встречается в литературе, но в последнее время некоторые авторы стали пользоваться последним определением.
Когда в качестве основного бинарного отношения берется отношение нестрогого предпочтения (>;), то отношения предпочтения ( ) и безразличия (~) определяются через нестрогое предпочтение >~ следующим образом:
х у тогда и только тогда, когда х ~ у, и неверно, что у ~ х; х~ у тогда и только тогда, когда х ~ у и у ~ х. (1)
Если же в качестве основного бинарного отношения берется , то отношение безразличия и отношение нестрогого предпочтения определяются на основе как
х~ у тогда и только тогда, когда неверно х у и неверно у х; х ~ у тогда и только тогда, когда х у или неверно х у и неверно у х.
Транзитивность
Отношение предпочтения на X транзитивно, если из того, что х предпочтительнее, чем у, а у предпочтительнее, чем z, следует, что х предпочтительнее, чем z. В целом это свойство кажется разумным, поэтому будем предполагать, что оно выполняется в большинстве дальнейших рассуждений. Транзитивность нарушается, если (х > у, у > z, х~ z) или (х у, у z, z х) для некоторых х, у и z из X.
Несмотря на очевидную разумность предположения о транзитивности предпочтений, имеется достаточно примеров и наблюдений, из которых видно, что здравомыслящие люди могут иметь нетранзитивные предпочтения в некоторых ситуациях (см. [10, 56, 59]). Альтернативы, используемые, чтобы проиллюстрировать этот факт, обычно включают несколько критериев или характерных признаков, как в следующем примере, когда молодому ученому предлагается выбрать место академической работы:
(а) х: ассистента в очень известном университете с окладом 15 тыс. долл.;
(б) у: доцента в университете штата N с окладом 18 тыс. долл.; (с) z: профессора в малоизвестном колледже с окладом 21 тыс. долл.
Ученый предпочитает х больше, чем у, рассудив, что престиж известного университета стоит 3 тыс. долл.; исходя из аналогичных соображений, он предпочитает у больше, чем z, но, сравнивая х и z, он чувствует, что занимаемый пост и величина оклада перевешивают престижность, поэтому он предпочитает z по сравнению с х. В описанной ситуации его предпочтения образуют цикл х y, y z, z х.
Приведенный пример хорошо иллюстрирует проблему, возникающую в теории выбора, а именно то, что бинарное отношение не дает путеводной нити для выхода из цикла, не позволяет сделать выбор между х, у и z, когда каждая альтернатива менее предпочтительна, чем некоторая другая. Следовательно, здесь нет самой предпочтительной альтернативы. Таким образом, теория выбора, которая сможет учесть и разрешить циклические предпочтения, должна быть «богаче» и «глубже» по сравнению с теоретическими построениями, обсуждаемыми в данной главе (см. [54, 57]).
Отношение безразличия (~) на X транзитивно, если из того, что х безразличен по отношению к у, а у безразличен к z, следует, что х безразличен по отношению к z. Отношение безразличия не транзитивно, если существуют х, у и z, для которых х ~ y, у ~ z и х z. Хотя во многих примерах нетранзитивных безразличий используется несколько критериев или характерных признаков, можно привести и простейшие «одномерные» примеры, демонстрирующие тот же факт. Для этого можно рассмотреть ситуацию с некоторым пороговым предпочтением, которое остается незамеченным благодаря несущественным или малым различиям в предпочтениях. В работе [38] это рассмотрено на примере чашки кофе, в которую добавляют один за другим маленькие кусочки сахара. Можно ожидать безразличного отношения к х и (х + 1) кусочкам сахара для х, скажем в пределах от 0 до 5000, но трудно ожидать одинакового отношения к двум чашкам кофе, в одной из которых нет сахара, а в другой х = 5000.
Поскольку отношение ~ транзитивно, оно является отношением эквивалентности (транзитивным, симметричным, рефлексивным) и, следовательно, может быть использовано для разделения (разбиения) множества X на классы эквивалентности, или классы безразличия. Такие классы представляют собой непустые множества из X: если А и В — два различных класса и х лежит в А, & у в В, то х~ у тогда и только тогда, когда А =В\ если же х у, то х' у' для любого х' из А и каждого у' из В. На рис. 2 изображены классы безразличия для случая двух продуктов или двух характерных признаков. Классы безразличия представляют собой кривые, на каждой из которых любые две точки находятся в отношении безразличия, а предпочтение возрастает по мере удаления от начала координат. Поскольку кривые имеют отрицательный наклон, то с уменьшением х1 должно увеличиваться хг, чтобы сохранялось отношение безразличия вдоль кривой. Эти кривые называют также кривыми обмена или траекториями безразличия. В случае большой размерности говорят уже о поверхностях безразличия или о поверхностях обмена. Экономисты используют термин «карта безразличия», понимая под этим набор траекторий безразличия. В экономических исследованиях часто предполагается, что траектории выпуклы в сторону начала координат, как, например, кривые, расположенные вблизи начала координат на рис. 2.