2.7. Аналитический метод кинематического анализа

2.7.1. Общие сведения о методе

Графический метод (или метод диаграмм) и графоаналитический метод (или метод планов скоростей и ускорений) кинематического анализа механизмов имеют свои недостатки, а именно невысокую точность, которая определяется точностью графических построений, и большую трудоёмкость. В частности, при иcпользовании графического метода необходимо построить диаграммы перемещений, скоростей и ускорений для каждой исследуемой точки механизма, а при использовании графоаналитического метода - несколько планов скоростей и ускорений механизма, чтобы определить динамику изменения скорости и ускорения интересующих нас точек (т.е. при различных положениях механизма).

Эти недостатки отсутствуют в аналитическом методе. Но при этом необходимо составлять достаточно сложные аналитические зависимости (формулы) и иметь возможность решать их с использованием компьютерных техники и технологии, что в последнее время является вполне возможным и доступным.

Существуют два основных метода аналитического исследования:

А) метод замкнутых векторных контуров (метод Зиновьева) /4/; он удобен для кинематического анализа практически всех используемых в технике несложных рычажных механизмов;

б) метод преобразования координат (метод Морошкина) /5/; он удобен для кинематического анализа многозвенных механизмов типа манипуляторов промышленных роботов.

Прежде чем рассматривать аналитический метод, введем некоторые понятия и определения, которые рассмотрим ниже.

2.7.2. Функция положения. Аналог скорости. Аналог ускорения

Положение любого звена механизма может определяться следующими параметрами: углом _К относительно какой-либо координатной оси или координатами Х_К и Y_К.

Функция положения – это аналитическая зависимость положения или координаты К-го звена (_К, Х_К или Y_К ) от положения ведущего звена ₁, т.е. _К (₁) или X_K(₁) и Y_K(₁), где _К, X_K и Y_K – координаты, определяющие положение К-го звена (ведомого), а угол j₁ – угол, характеризующий положение ведущего звена.

Аналог скорости. Угловая скорость К-го звена определяется зависимостью

, (2.3)

где – аналог скорости К-го звена (или первая передаточная функция) для вращающегося звена, величина безразмерная;

и – аналоги скорости К-го звена, движущегося поступательно, величина также безразмерная.

Аналог ускорения. Угловая скорость К-го звена определяется зависимостью, получаемой дифференцированием уравнения (2.3) по dt:

.

Здесь при дифференцировании предполагается, что угловая скорость К-го звена _к определяется зависимостью

;

а угол _к является функцией угла ₁

.

Величину называют аналогом ускорения К-го звена, совершающего вращательное движение.

Аналогично величины и называют аналогами ускорения К-го звена, двигающегося поступательно, в проекциях на оси X и Y.

Введение в кинематический анализ понятий аналогов отделяет геометрические свойства механизма от кинематических.

Величину называют ещё передаточным отношением, так как выражение можно преобразовать, умножив и разделив его на величину dt:

.

Отношение угловых скоростей в механике называют передаточным отношением: .

Аналог скорости звена также называют первой передаточной функцией.

Задачи кинематического анализа и пути их аналитического решения приведены в таблице:

Функции положения	Задача о скоростях	Задача об ускорения
Определить функции положения:	Определение аналогов скоростей Вычисление скоростей	Определение аналогов ускорений Вычисление ускорений

Как следует из приведенной таблицы, для решения задачи о положениях звеньев исследуемого механизма необходимо найти функции положения (_К или Х_К и Y_К ), предварительно составив векторное уравнение замкнутого векторного контура кинематической цепи и уравнения проекций его на координатные оси Х и Y. Из этих уравнений находят функции положения (зависимости положений исследуемого звена от положения ведущего звена). При известном (заданном) законе движения ведущего звена задаются шагом и вычисляют координаты исследуемых звеньев (угловые координаты для вращающегося звена и прямоугольные для звена, совершающего возвратно-поступательное движение).

Для решения задачи о скоростях необходимо найти аналоги скоростей исследуемых звеньев и, умножив их на угловую скорость ведущего звена, получить формулы расчета искомых скоростей.

Для решения задачи об ускорениях находят также аналоги ускорений звеньев и по формулам, приведенным в таблице, находят величины ускорений. Ниже приводится пример кинематического анализа кривошипно-ползунного механизма аналитическим методом.