Неоднородные линейные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Неоднородные линейные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами имеют вид:

, (1)

где и - действительные числа.

В предыдущей теме мы ознакомились с общим методом нахождения решения неоднородного уравнения. В случае уравнения с постоянными коэффициентами частное решение иногда бывает возможно найти проще, не прибегая к методу вариации произвольных постоянных. Рассмотрим несколько таких возможностей для данного уравнения (1).

1. Правая часть уравнения (1) представляет собой произведение показательной функции на многочлен ой степени, т.е.

(2)

Возможны следующие случаи:

1. Число не является корнем характеристического уравнения

В этом случае частное решение следует искать в виде

(3)

Найдём производные до второго порядка и подставим в уравнение (1):

или

(4)

многочлен степени , многочлен степени , многочлен степени . Таким образом, слева и справа от знака равенства стоят многочлены ой степени. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях , получим систему уравнений для определения неизвестных коэффициентов .

2. Число является однократным корнем характеристического уравнения

В этом случае, т.к. корень характеристического уравнения, то и слева в равенстве (4) будет стоять многочлен ой степени, а справа ой степени. Следовательно, ни при каких равенство (4) не было бы тождеством. Поэтому в рассматриваемом случае частное решение нужно брать в виде многочлена степени, но без свободного члена, т.к. свободный член этого многочлена исчезнет при определении производной:

(5)

3. Число является двукратным корнем характеристического уравнения

Тогда в равенстве (4) кроме того, что , ещё и . Следовательно, в левой части равенства (4) остаётся многочлен ой степени. Для того, чтобы в результате подстановки получить многочлен степени , следует частное решение искать в виде произведения показательной функции на многочлен ой степени . При этом свободный член и член первой степени этого многочлена исчезнут при дифференцировании:

(6)

2. Правая часть уравнения (1) имеет вид:

, (7)

где и - многочлены от , то форма частного решения определяется так:

1. Если число не является корнем характеристического уравнения

то

(8)

где и - многочлены, степень которых равна наивысшей степени многочленов и ;

2. Если число является корнем характеристического уравнения

то

. (9)

_{Замечание}. Указанные формы частных решений (8) и (9) сохраняются и в том случае, когда в правой части уравнения (1) один из многочленов и тождественно равен нулю, т.е. когда правая часть имеет вид или

Неоднородные линейные уравнения высших порядков

Пусть дано неоднородное линейное уравнение

(1)

где непрерывные функции от или постоянные числа. Пусть нам известно общее решение

(2)

соответствующего однородного уравнения

(3)

Для уравнения (1) справедливо утверждение: «Если общее решение однородного уравнения (3), а частное решение неоднородного уравнения (1), то есть общее решение неоднородного уравнения».

Как и в случае уравнения второго порядка, частное решение уравнения (1) можно находить по способу вариации произвольных постоянных, считая в выражении (2) функциями от .

(4)

В случае неоднородного уравнения высшего порядка с постоянными коэффициентами частные решения иногда находятся проще, а именно: