Линейные уравнения первого порядка

Определение. Линейным уравнением первого порядка называется уравнение, линейное относительно неизвестной функции и её производной.

Линейное уравнение первого порядка имеет вид:

(1)

где заданные непрерывные функции от или постоянные числа.

Решение линейного уравнения будем искать в виде произведения двух функции от :

(2)

где . Дифференцируя обе части последнего выражения, получим:

(3)

Значения подставим в данное уравнение (1)

или

Выберем функцию такой, чтобы

, (4)

тогда . (5)

Решив сначала уравнение (4) и затем уравнение (5), найдём значения и . Подставив значения и в (2) найдём решение уравнения (1).

Замечание: Уравнение вида , (6)

где и , называется уравнением Бернулли.

Уравнение Бернулли приводится к линейному следующим преобразованием: разделим все члены уравнения на

(7)

и произведём замену . (8)

Тогда . (9)

Подставив значения (8) и (9) в (7), получим или

(10)

Решив линейное уравнение (10) и учитывая, что , найдём решение уравнения (6).

_{Заметим, что уравнение (6) часто можно} решить как и линейное уравнение с помощью подстановки

Уравнение в полных дифференциалах

Определение. Уравнение

называется уравнением в полных дифференциалах, если и - непрерывные, дифференцируемые функции, для которых выполняется соотношение

Левая часть такого уравнения есть полный дифференциал некоторой функции . Если это уравнение переписать в виде , то его общее решение определяется равенством Функция может быть найдена по формуле

.

Интегрирующий множитель

Пусть левая часть уравнения не есть полный дифференциал. Иногда удаётся подобрать такую функцию , после умножения на которую всех членов уравнения левая часть уравнения становится полным дифференциалом.

Общее решение полученного таким образом уравнения совпадает с общим решением первоначального уравнения; функция называется интегрирующим множителем данного уравнения.

Для того чтобы найти умножим обе части уравнении на неизыестный пока интегрирующий множитель :

Для того чтобы последнее уравнение было уравнением в полных дифференциалах, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось соотношение:

т.е. или . После деления обеих частей последнего уравнения на , получим:

.

Задача нахождения из последнего уравнения ещё труднее, чем первоначальная задача интегрирования данного уравнения. Только в некоторых частных случаях .

удаётся найти функцию

Пусть, например, данное уравнение допускает интегрирующий множитель, зависящий только от . Тогда

и для отыскания мы получаем обыкновенное дифференциальное уравнение

Откуда

Аналогично, если у данного уравнения существует интегрирующий множитель, зависящий только от , то он находится по формуле