1. Распределение Бернулли – это распределение случайной величины , принимающей два значения : с вероятностью и с вероятностью ;

2. Биномиальное распределение – это распределение случайной величины, принимающей значения при этом , , ;

3. Пуассоновское распределение (с параметром ) – это распределение случайной величины со значениями и при этом .

4. Нормальное распределение – это распределение случайной величины с плотностью .

Пусть на задана положительная случайная величина c . Для каждого события определим его новую вероятность . Тогда относительно этой новой вероятности случайная величина имеет и новое среднее:

При выводе этой формулы замены вероятности в математическом ожидании была использована линейность, устанавливаемая непосредственно из определения:

для постоянных .

Несколько следующих понятий и фактов обсудим только для дискретных случайных величин и со значениями и соответственно.

Вероятность называется совместным распределением и , при этом и .

Обозначая и , приходим к важному понятию независимости и , означающему, что .

Как следствие, для двух независимых случайных величин и имеем, что .

Условным математическим ожиданием случайной величины при условии, что , называется число .

Случайная величина есть по определению условное математическое ожидание при условии , если совпадает с на множестве .

В частности, для "тривиальных" случайных величин и получаем определение условной вероятности .

Отметим следующие свойства условных математических ожиданий:

1. , что для и соответствует формуле полной вероятности ;

2. для независимых и имеем, что .

3. Ввиду самого определения условное математическое ожидание является функцией от и в этом смысле может интерпретироваться как прогноз на основе информации, доставляемой "наблюдаемой" величиной .

Наконец, для "восстановления" распределения случайной величины , принимающей значения полезно понятие производящей функции , для которой и для независимых случайных величин .

Обратимся снова к примеру биржевых торгов и рассмотрим этот случайный эксперимент от нуля до ( – это "сегодня", – это месяц, квартал, год и т.д.) Ясно, что "элементарный" исход такого эксперимента может быть записан в виде последовательности , где – "элементарный" исход завтрашних торгов и т.д.

Возникает вероятностное пространство таких растянутых до "временного горизонта" торгов.

Если торги рассматривать до каждого момента , то соответствующее пространство имеет элементарные исходы и запас событий .

Таким образом, стремление уловить эволюцию торгов приводит к необходимости рассматривать пространство с выделенным информационным потоком , таким, что , которое принято называть стохастическим базисом (случайного эксперимента торгов).

Вернемся к модели финансового рынка.

Первый актив считается безрисковым, поэтому разумно предположение о его неслучайности: для всех . Второй актив – рисковый и разумно отождествить его рисковость со случайностью, предполагая – случайными величинами на описанном выше стохастическом базисе (например, биржевых торгов). При этом, каждая из величин полностью определяется результатами торгов до момента , или набором событий . Будем предполагать, с другой стороны, что случайность механизма торгов полностью исчерпывается ценами акций, что записывается в виде .

Для получения конкретных ответов в предполагаемых финансовых расчетах необходимо конкретизировать механизм случайности цен. Пусть в модели -рынка величины являются случайными, независимыми и принимающими два значения и , где , . Значит, формально представленное выше вероятностное пространство можно отождествить с – пространством последовательностей длины , где на -м месте располагается либо , либо ; – множество всех подмножеств из ; – вероятность, индуцируемая бернуллиевской вероятностью .

Информационный поток, или фильтрация , порождается ценами , или, что эквивалентно, последовательностью :

Последнее просто означает, что любая случайная величина на является функцией от или с учетом их взаимосвязи , Финансовый -рынок, заданный на описанном выше стохастическом базисе, будем называть биномиальным.

Вспоминая проблему хеджирования, сразу отмечаем, что платежное обязательство , исполняемое в последний день торгов, определяется, вообще говоря, событиями всей предыдущей предыстории и, следовательно, является функцией : . Проблема же состоит в возможности оценить на основе доступной лишь к моменту рыночной информации . Значит, необходимо делать оценку, или прогноз, на основе текущей информации , .

Сформулируем те эвристически понятные свойства прогноза, который будем обозначать для .

1. – это функция только от , но не от ненаблюдаемых ещё рыночных цен

2. Прогноз на основе тривиальной информации должен совпадать со средним прогнозируемого платежного обязательства: при , .

3. Прогнозы должны быть согласованы в том смысле, что прогноз совпадает с прогнозом для следующего прогноза . Как следствие, прогноз в среднем совпадает со средним от : .

4. Прогноз по всей доступной информации совпадает с прогнозируемой величиной: .

5. Прогноз для линейной комбинации , где и полностью определяются по информации , равен линейной комбинации прогнозов:

6. Если прогнозируемая величина не зависит от текущей информации , то прогноз на основе такой информации тривиален и равен среднему .

7. Обозначая из свойства 3) получаем, что для всех . Такие стохастические последовательности называются мартингалами.

Значит, если от прогнозов потребовать перечисленные выше естественные свойства, то они образуют мартингал на стохастическом базисе . "Мартингальность" означает, что прогноз для следующего значения прогноза совпадает с его предыдущим значением.