4.3. Контрольные вопросы

1. Что называется точностью систем?

2. Как определяется установившаяся ошибка во временной и комплекс­ной областях?

3. Почему нельзя создать идеальную по точности систему?

4. Что называется статической системой?

5. Как определяется статизм системы?

6. Что называется астатической системой?

7. Как определяется порядок астатизма по виду передаточной функции?

8. Как можно определить порядок астатизма по типовым входным воздействиям?

9. Будет ли устойчивой система с переходными процессами, приведен­ными на рис. 4.1, а?

10. Почему изодромное звено называют ПИ-регулятором?

11. Как выбирается постоянная времени изодромного звена?

12. Каким основным свойством обладает глубокая отрицательная обратная связь?

13. Какой основной недостаток имеют системы, использующие для повышения точности ПОС?

14. Как определяются запасы устойчивости по АФХ и логарифмическим характеристикам?

15. Какой вид будет иметь формула (4.23), если в ОС будет звено идеального дифференцирования?

Лабораторная работа 5 качество процессов управления и методы его обеспечения

Цель работы: изучение прямых и косвенных оценок, показателей качества процессов управления; основных методов структурно-парамет­ри­ческого синтеза систем.

5.1. Основные сведения

Качество процессов управления исследуется для устойчивых систем в переходном режиме при подаче на вход единичной функции 1(t). Для количественной оценки вводятся показатели качества, которые определяются по кривой переходной функции h(t), приведенной на рис. 5.1.

Рис. 5.1. Переходная функция и определение показателей качества

Время регулирования t_рег определяется из условия: t  t_рег, если h(t)  0,05h_уст ; перерегулирование –

. (5.1)

Колебательность переходного процесса m характеризуется числом полных колебаний h(t) за время регулирования.

К показателям качества процесса управления также относят значение установившейся ошиб­ки .

Основными косвенными методами оценки (или критериями качества) являются корневые, частотные и интегральные. В первом случае качество определяется ближайшим к мнимой оси корнем s_min характеристического уравнения замкнутой системы:

. (5.2)

Границы расположения s_min на комплексной плоскости корней приведены на рис. 5.2. Степень устойчивости (рис. 5.2, а) определяется расстоянием от s_min до мнимой оси и характеризует время регулирования

. (5.3)

Все корни, удовлетворяющие колебательности корней , распола­гаются на лучах, проведенных под углом (рис. 5.2, б). Если требуется, чтобы в системе выполнялись заданные и , то корни s_min должны лежать в заштрихованной области (рис. 5.2, в).

а б в Рис. 5.2. Границы области расположения корней

В частотных критериях анализируется вид вещественной или амплитуд­ной частотной характеристики замкнутой системы. Типовой вид АЧХ приведен на рис. 5.3.

Значение определяет установившееся значение h_уст, т. е. ошибку по положению, поэтому для астатических систем , для статических –

. (5.4)

Рис. 5.3. Амплитудные частотные характеристики замкнутой системы

Величина влияет на перерегулирование, а следовательно, и на коле­бательный характер переходного процесса, и для косвенной оценки качества вводится показатель колебательности:

. (5.5)

В интегральных критериях качество процессов управления оценивается численным значением определенного интеграла вида:

, (5.6)

где – некоторая функция от ошибки e(t).

Методы повышения качества процессов управления или синтеза систем разделяются на параметрические, структурно-параметрические и структурные.

В первом случае изменяют только параметры, но так как в реальных системах число таких параметров ограничено и чаще всего только одним коэффициентом передачи, то этот способ применяют достаточно редко. Структурные методы приводят к решению задач оптимального управления, которые, как правило, являются нелинейными [3].

В классе линейных систем широко применяют структурно-параметрии­ческие методы, в которых структура регулятора или устройства управления задается из определенного класса функций, а его параметры каким-то образом вычисляются или подбираются. Одним из методов является использование типовых линейных знаков регулирования [5]. В этом случае управляющее воздействие на выходе регулятора определяется по выражению:

, (5.7)

где – некоторые коэффициенты (параметры).

В зависимости от получают различные типовые законы: если и , то – пропорциональный, или П-закон регулирования, если и , то – пропорционально-интегральный, или ПИ-закон. В общем случае формула (5.7) определяет пропорционально-интегрально-дифференцирующий, или ПИД-закон.

Регуляторы с П-, И- и ПИ-законами используют, если исходная система с передаточной функцией W₀(s) обладает достаточным и соответствующим требуемым запасом устойчивости.

Операция дифференцирования не может быть реализована, поэтому типовой ПИД-регулятор описывается передаточной функцией:

. (5.8)

Далее необходимо выбрать параметры . Методика их определения при выполнении заданной точности описана в лабораторной работе 4. Решение задачи обеспечения требуемого качества значительно сложнее, так как необходимо, чтобы вся кривая переходного процесса h(t) соответствовала заданной или, по крайней мере, основным показателям – t_рег , , m. Достаточно простых методик подбора основных показателей не существует, поэтому обычно применяют косвенные критерии качества.

Если основным требованием к качеству систем является условие, чтобы корни характеристического полинома располагались бы в заштрихованной области, приведенной на рис. 5.2, в, то синтез регулятора проводят на основе расширенных частотных характеристик W(j , m) и условия W(j , m) = –1 нахождения замкнутой системы на границе устойчивости [5]. В плоскости коэффициентов строится кривая в зависимости от частоты , по которой и выбирают конкретные числовые значения параметров ПИ‑регуля­тора. Можно потребовать, чтобы для замкнутой системы с типовым регулятором выполнялось условие:

. (5.9)

В выражении (5.9) характеристический полином D_жел(s) учитывает желаемое, т. е. требуемое качество процессов управления. Как правило, выбирают такие полиномы D_жел(s) со специальным расположением корней s_i, для которых известны достаточно простые методы нахождения показателей качества по так называемым стандартным переходным функциям [6]. Наиболее распространенными являются полиномы Баттерворта [6] и бином Ньютона [5, 6] или среднего геометрического корня [5]. Основное ограничение связано с малым числом варьируемых параметров регулятора и сложностью получения в явном виде аналитических зависимостей от коэффициентов желаемого полинома D_жел(s). При выполнении условия (5.9) говорят о синтезе модального управления [5, 6, 7].

В рассмотренных подходах использовались для настройки регуляторов корневые критерии качества. Можно использовать и интегральные оценки вида (5.6). В этом случае, например для регулятора с передаточной функцией (5.8), должны выполняться условия:

; (5.10)

. (5.11)

Тогда оптимальные значения параметров определяются из решения системы уравнений:

(5.12)

На практике задачу минимизации решают численными методами оптими­зации из-за сложности получения в аналитическом виде уравнений (5.10) для интегральных оценок:

; (5.13)

, (5.14)

которые обеспечивают минимальную ошибку в систе­ме.

В работе предлагается выбирать как наилучшие параметры ПИ-регулятора, обеспечивающего заданную точность системы, а параметр для ПИД-регулятора определить из условия минимума интегральных оценок и , зависящих только от одного .

Другим видом структурно-параметрического синтеза является метод линейной коррекции. В этом случае вместо регулятора используют термин «корректирующее устройство» и в качестве заданного класса используют вместо выражения (5.8) передаточную функцию вида:

, (5.15)

где .

В выражении (5.15) обычно q = 0 или q = 1, в последнем случае в функ­ции W_k(s) имеется дифференцирующее звено. Такой вид корректирующих устройств называют минимально-фазовыми звеньями.

Если исходная система статическая, то в ее состав вводится интегрирующее звено с параметром . Тогда общий коэффициент передачи объекта выбирается из условия обеспечения заданной точности, например, используя формулу (4.17), когда .

В этом случае для синтеза применяют асимптотические логарифмические амплитудные характеристики. По заданным показателям качества и устойчивости по специально разработанной методике [3], которая достаточно подробно приводится в методических указаниях [7], строится желаемая асимптотическая ЛАХ .

Для повышения устойчивости и качества необходимо, чтобы ЛАХ желаемой системы L( ) имела наклон на частоте среза хотя бы –20дБ/дек, при этом низкочастотную асимптоту, которая определяется коэффициентом k, изменить нельзя. При последовательном включении W_k(s) в прямую цепь системы для корректирующего устройства справедлива формула:

, (5.16)

где – логарифмическая характеристика исходной системы.

В простейшем случае передаточная функция (5.15) будет иметь вид:

. (5.17)

Важное место в САУ занимают компенсационные регуляторы. Напомним, что в принципе управления Понселе (по возмущению) система разомкнута, передаточная функция равна и, чтобы выходной и входной сигналы совпадали необходимо выполнение , т.е. нули регулятора должны компенсировать полюса объекта, а полюса – соответственно нули . Поэтому используют обозначение для компенсационных регуляторов.

В замкнутых САУ передаточная функция должна совпадать с , поэтому для ПФ системы в разомкнутом состоянии используют формулу:

. (5.18)

Регуляторы (устройства управления) компенсационного типа всегда включают последовательно с объектом в прямую цепь системы и ПФ будет равна произведению . Если каким-то образом задана или , то при синтезе должно выполняться следующее равенство:

, (5.19)

откуда следует, что

. (5.20)

В выражение (5.20) входит , т.е. для того, чтобы система обеспечивала желаемые свойства необходимо вначале скомпенсировать ПФ или динамику объекта. В этом и состоит основная идея всех компенсационных регуляторов.

Такой же подход используется и в минимально-фазовой коррекции, так как требуемые свойства системы определяются асимптотической и, если в выражение (5.16) подставить , то разности логарифмических амплитудных характеристик соответствует деление ПФ в формуле (5.20).

Основной задачей при синтезе будет выбор желаемых свойств, т.е. и . Допустим, что объект имеет передаточную функцию

, (5.21)

тогда ПФ регулятора зададим в виде:

. (5.22)

В выражении (5.22) первый сомножитель компенсирует динамику объекта, второй (интегрирующее звено, записанное через постоянную времени ) обеспечивает точность системы, а третий – вводится для создания желаемого качества процессов управления.

Тогда для скорректированной системы получаем следующую ПФ:

(5.23)

или в замкнутом состоянии –

. (5.24)

Для выбора и определения воспользуемся амплитудной частотной характеристикой (АЧХ) замкнутой системы , показанной на рис. 5.3. Естественно, что чем шире полоса пропускания в пределах которой (система с регулятором (5.22) является астатической), тем меньше время регулирования .

Учитывая, что имеет вид АЧХ фильтра нижних частот (ФНЧ) можно использовать для аппроксимации полиномы Чебышева, но это приведет к увеличению порядка инерционного звена или третьего сомножителя в формуле (5.22).

Рассмотрим более простой подход, называемый модульным оптимумом. В соответствии с ним постоянство выполняется, если при как можно большее число производных по частоте стремится к нулю, т.е.

. (5.25)

В работе [8] приведены полученные на основе условия (5.25) соотношения для коэффициентов числителя и знаменателя ПФ замкнутой системы общего вида. Для частного случая (5.24) получено:

, (5.26)

тогда

. (5.27)

Таким образом, регулятор (5.22), компенсирующий динамику объекта и имеющий интегрирующую составляющую с постоянной времени , обеспечивает максимально возможное для заданного быстродействие замкнутого контура.

Естественно, что время зависит от и желательно задать как можно меньшее значение, т.е. . Перепишем передаточную функцию (5.23) следующим образом:

. (5.28)

Введем обозначение и положим , тогда формулы (5.28) и (5.24) примут вид:

. (5.29)

В этом случае желаемая система является типовым апериодическим звеном и его АЧХ представляет собой простейший ФНЧ. Выбор в форме (5.29) должен обеспечить апериодический характер протекания переходных процессов в синтезированной системе.

При реализации компенсационных регуляторов необходимо учитывать, что достаточно малая величина и она может оказаться соизмеримой с постоянными времени неучтенных в модели объекта датчиков, измерительных, усилительных и других преобразователей сигналов. Поэтому, как правило, имитационного моделирования недостаточно и нужно проводить натурные или лабораторные испытания.

Воспользуемся для реализации типовым ПИД-регулятором, но запишем формулу для ПФ интегрирующего звена через постоянную времени , тогда для передаточной функции будет выполняться:

. (5.30)

Допустим, что объект имеет второй порядок и ПФ вида (4.27), поэтому равенство (5.19) запишется следующим образом:

. (5.31)

Не трудно убедиться, что при выполнении для соотношений

(5.32)

выражение (5.31) будет иметь вид:

, (5.33)

из которого следует, что .

Учитывая, что , на основе формул (5.32) можно записать следующие выражения для ПИД-регулятора:

. (5.34)

Аналогичным образом получается алгоритмы определения параметров компенсационных регуляторов при других желаемых свойствах замкнутых систем.